2021-07-22
Около треугольника $ABC$ описана окружность. Точки $K$, $M$ и $N$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Лучи $AP$, $BP$ и $CP$ пересекают окружность в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Докажите, что треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ подобен треугольнику $KMB$.
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Из точек $M$ и $K$ отрезок $CP$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $CP$. Тогда
$\angle AA_{1}C_{1}=\angle ACC_{1}=\angle MCP=\angle MKP.$
Аналогично $\angle AA_{1}B_{1}=\angle NKP$, поэтому
$\angle C_{1}A_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}+\angle AA_{1}B_{1}=\angle MKP+\angle NKP=\angle MKN.$
Аналогично $\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle KMN$. Следовательно, треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ подобен треугольнику $KMB$ по двум углам.
Аналогично для всех остальных случаев.