2021-07-22
Две окружности касаются внешним образом. К ним проведена общая внешняя касательная. На отрезке этой касательной, заключённом между точками касания, как на диаметре построена окружность. Докажите, что она касается линии центров первых двух окружностей.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $AB$ - указанная касательная ($A$ и $B$ - точки касания). Проведём через точку $K$ касания окружностей общую внутреннюю касательную. Пусть $M$ - её точка пересечения с отрезком $AB$. Поскольку $MA=MK=MB$, то окружность, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре, имеет центр в точке $M$ и проходит через точку $K$, а т.к. $MK\perp O_{1}O_{2}$, то $O_{1}O_{2}$ - касательная к построенной окружности.