2014-06-07
Доказать, что уравнение
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{1983}$
в натуральных числах имеет лишь конечное множество решений.
Решение:
Заметим, что данное уравнение имеет решение: например, $x=y=z=3 \cdot 1983$. Докажем теперь, что существует лишь конечное множество наборов чисел $x,y,z \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих исходному уравнению и неравенствам $x \leq y \leq z$. Действительно, для любого такого набора выполнены соотношения
$0 < \frac{1}{z} \leq \frac{1}{y} \leq \frac{1}{x}, \frac{1}{x} < \frac{1}{1983} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{3}{x}$,
из которых вытекают неравенства $1983 < x \leq 3 \cdot 1983$. Поэтому неизвестная величина $x$ принимает не более $2 \cdot 1983$ значений. Для каждого из значений $x$ получаем
$\frac{1}{1983} - \frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{2}{y}$,
откуда
$y \leq 2 \cdot \frac{1983x}{x-1983} \leq 2^{2} \cdot 1983^{2}$.
и неизвестная величина $y$ принимает не более $2^{2} \cdot 1983^{2}$ значений. Наконец, если значения $x$ и $y$ уже заданы, то неизвестная величина $z$ определяется уравнением однозначно. Таким образом, существует не более $2^{3} \cdot 1983^{3}$ решений, удовлетворяющих условию $x \leq y \leq z$. Поскольку к решениям такого вида с помощью перестановок неизвестных приводятся все остальные решения исходного уравнения, то общее число решений не превосходит $6 \cdot 2^{3} \cdot 1983^{3}$.