ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-07-22   
Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от катетов на расстояния 3 и 4. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы.


Решение:




Первый способ. Пусть $M$ - точка пересечения медиан прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC$ и $BC$, $P$ и $Q$ - проекции точки $M$ на $AC$ и $BC$ соответственно, $MP=3$, $MQ=4$, $K$ - середина $BC$.
Поскольку медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины треугольника, то

$\frac{AC}{PC}=\frac{AK}{MK}=3.$

Поэтому

$AC=3PC=3MQ=12.$

Аналогично $BC=9$. Тогда $AB=15$.

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=54.$

С другой стороны,

$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMC}+S_{\Delta AMB}=\frac{1}{2}AC\cdot MP+\frac{1}{2}BC\cdot MQ+\frac{1}{2}AB\cdot x=18+18+\frac{15\cdot x}{2},$

где $x$ - искомое расстояние. Следовательно,

$x=\frac{2(54-36)}{15}=\frac{12}{5}.$


Второй способ. Пусть $M$ - точка пересечения медиан прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC$ и $BC$, $P$ и $Q$ - проекции точки $M$ на $AC$ и $BC$ соответственно, $MP=3$, $MQ=4$, $K$ - середина $BC$.
Поскольку медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины треугольника, то

$\frac{AC}{PC}=\frac{AK}{MK}=3.$

Поэтому

$AC=3PC=3MQ=12.$

Аналогично $BC=9$. Тогда $AB=15$.
Пусть $h$ - высота треугольника $ABC$, проведённая из вершины прямого угла, $H$ - проекция точки $M$ на $AB$. Поскольку

$h=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{9\cdot12}{15}=\frac{36}{5},$

то $MH=\frac{1}{3}h=\frac{12}{5}$.