2014-06-07
Решить уравнение
$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x \sqrt{3}}-\sqrt{y \sqrt{3}}$
в рациональных числах.
Решение:
Пусть числа $x,y \in \mathbf{Q}$ удовлетворяют уравнению. Тогда справедливы равенства
$2 \sqrt{3} -3 = x \sqrt{3} + y \sqrt{3} – 2 \sqrt{3xy}$,
$(x+y-2) \sqrt{3} = 2 \sqrt{3xy} -3$.
Поскольку
$(x+y-2)^{2} \cdot 3 = 9 + 12xy – 12 \sqrt{3xy}$,
то число $\sqrt{3xy}$ рационально, а значит, справедливы равенства
$x+y-2=0$,
$2 \sqrt{3xy} – 3 = 0$
(в противном случае число $\sqrt{3} = (2 \sqrt{3xy} - 3)/(x+y-2)$ было бы рациональным). Поэтому числа $x, y$ удовлетворяют равенствам $x+y=2, xy=3/4$, т.е. являются корнями уравнения
$t^{2}-2t+3/4=0$.
Так как $x > y$, то исходное уравнение может иметь только одно решение $x=3/2, y=1/2$, которое, как показывает проверка, действительно удовлетворяет уравнению.