Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4774
2021-07-22 
Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
Решение:
Первый способ. Обозначим вершины звезды последовательно: $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$, $A_{5}$. Пусть $M$ - точка пересечения отрезков $A_{1}A_{4}$ и $A_{2}A_{5}$, а $N$ - отрезков $A_{1}A_{3}$ и $A_{2}A_{5}$. Тогда $\angle A_{1}MN$ - внешний угол треугольника $MA_{2}A_{4}$, а $\angle A_{1}NM$ - внешний угол треугольника $NA_{3}A_{5}$. Поэтому
$\angle A_{1}MN=\angle A_{2}+\angle A_{4},~\angle A_{1}NM=\angle A_{3}+\angle A_{5}.$
Следовательно,
$\angle A_{1}+\angle A_{2}+\angle A_{3}+\angle A_{4}+\angle A_{5}=\angle A_{1}+\angle A_{1}MN+\angle A_{1}NM=180^{\circ}.$
Второй способ. Через произвольную точку проведём 5 прямых, соответственно параллельных сторонам звезды. При этом образуется 10 углов, сумма которых равна $360^{\circ}$. Эта сумма вдвое больше искомой, т.к. каждый из углов при вершинах звезды соответственно равен двум вертикальным углам из полученных десяти.
Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
Решение:
Первый способ. Обозначим вершины звезды последовательно: $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$, $A_{5}$. Пусть $M$ - точка пересечения отрезков $A_{1}A_{4}$ и $A_{2}A_{5}$, а $N$ - отрезков $A_{1}A_{3}$ и $A_{2}A_{5}$. Тогда $\angle A_{1}MN$ - внешний угол треугольника $MA_{2}A_{4}$, а $\angle A_{1}NM$ - внешний угол треугольника $NA_{3}A_{5}$. Поэтому
$\angle A_{1}MN=\angle A_{2}+\angle A_{4},~\angle A_{1}NM=\angle A_{3}+\angle A_{5}.$
Следовательно,
$\angle A_{1}+\angle A_{2}+\angle A_{3}+\angle A_{4}+\angle A_{5}=\angle A_{1}+\angle A_{1}MN+\angle A_{1}NM=180^{\circ}.$
Второй способ. Через произвольную точку проведём 5 прямых, соответственно параллельных сторонам звезды. При этом образуется 10 углов, сумма которых равна $360^{\circ}$. Эта сумма вдвое больше искомой, т.к. каждый из углов при вершинах звезды соответственно равен двум вертикальным углам из полученных десяти.
