Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 466
2014-06-08 
Многочлен $P(x)$ имеет степень, не большую $2n$. Известно, что для каждого целого $k \in [-n; n]$ выполнено неравенство $|P(k)| \leq 1$. Доказать, что для любого числа $x \in [-n; n]$ справедлива оценка $|P(x)| \leq 2^{2n}$.
Решение:
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа имеем равенство (ниже подразумевается, что $ -n \leq i \leq n$)
$P(x) = \sum_{k = - n}^{n} P(k) \prod_{i \neq k} \frac{x - i}{k - i}$,
Так как $|P(k)| \leq 1$ при $k = - n, –n +1, cdots, n$, то
$|P(x)| \leq \sum_{k= -n}^{n}|P(k)| \prod_{i \neq k} \frac{|x - i|}{|k - i|} \leq \sum_{k = -n}^{n} \prod_{i \neq k} \frac{|x - i|}{|k - i|}$,
Для каждого действительного числа $x \in |-n, n|$ справедливо неравенство
$\prod_{i \neq k}|x - i| \leq (2n)!$.
Действительно, в случае $x \geq k$ имеем
$\prod_{i \neq k} |x - i| = (|x – (k+1)| \cdots |x - n|)(|x-(k-1)| \cdots |x+n|) \leq$
$\leq (n - k)! \cdot ((n – k +1) \cdots (2n)) = (2n)!$
Аналогично рассматривается случай $x < k$. Таким образом, получаем
$\prod_{i \neq k}\frac{|x - i|}{|k - i|} \leq (2n)! \prod_{i \neq k} \frac{1}{|k-i|} \leq (2n)! \frac{1}{(k+n)!(n-k)!}$,
$|P(x)| \leq \sum_{k = -n}^{n} \frac{(2n)!}{(k+n)!(n-k)!} = \sum_{k=0}^{2n} \frac{(2n)!}{k!(2n-k)!} = \sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^{k} = 2^{2n}$,
что и требовалось доказать.
Многочлен $P(x)$ имеет степень, не большую $2n$. Известно, что для каждого целого $k \in [-n; n]$ выполнено неравенство $|P(k)| \leq 1$. Доказать, что для любого числа $x \in [-n; n]$ справедлива оценка $|P(x)| \leq 2^{2n}$.
Решение:
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа имеем равенство (ниже подразумевается, что $ -n \leq i \leq n$)
$P(x) = \sum_{k = - n}^{n} P(k) \prod_{i \neq k} \frac{x - i}{k - i}$,
Так как $|P(k)| \leq 1$ при $k = - n, –n +1, cdots, n$, то
$|P(x)| \leq \sum_{k= -n}^{n}|P(k)| \prod_{i \neq k} \frac{|x - i|}{|k - i|} \leq \sum_{k = -n}^{n} \prod_{i \neq k} \frac{|x - i|}{|k - i|}$,
Для каждого действительного числа $x \in |-n, n|$ справедливо неравенство
$\prod_{i \neq k}|x - i| \leq (2n)!$.
Действительно, в случае $x \geq k$ имеем
$\prod_{i \neq k} |x - i| = (|x – (k+1)| \cdots |x - n|)(|x-(k-1)| \cdots |x+n|) \leq$
$\leq (n - k)! \cdot ((n – k +1) \cdots (2n)) = (2n)!$
Аналогично рассматривается случай $x < k$. Таким образом, получаем
$\prod_{i \neq k}\frac{|x - i|}{|k - i|} \leq (2n)! \prod_{i \neq k} \frac{1}{|k-i|} \leq (2n)! \frac{1}{(k+n)!(n-k)!}$,
$|P(x)| \leq \sum_{k = -n}^{n} \frac{(2n)!}{(k+n)!(n-k)!} = \sum_{k=0}^{2n} \frac{(2n)!}{k!(2n-k)!} = \sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^{k} = 2^{2n}$,
что и требовалось доказать.
