Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 465
2014-06-08 
Пусть заданы целые числа $x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n}$. Доказать, что среди значений многочлена $x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n}$ в точках $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$ найдется такое число, которое по модулю не меньше чем $n!/2^{n}$.
Решение:
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа многочлен
$P(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n}$
можно представить в виде (ниже подразумевается, что $0 \leq i \leq n$)
$P(x) = \sum_{j=0}^{n} \left ( \prod_{i \neq j} \frac{x – x_{i}}{x_{j} – x_{i}} \right ) P(x_{j})$.
Предположим, что утверждение задачи не выполняется, т. е. $|P(x_{j})| < n!/2n$ при $j = 0, 1, \cdots, n$. Тогда старший коэффициент 1 многочлена $P(x)$, равный сумме старших коэффициентов в произведениях $\prod_{i \neq j} \frac{x – x_{i}}{x_{j} - x_{i}}$, по модулю не превосходит числа
$\left | \sum_{j=0}^{n} P(x_{j}) \prod_{i \neq j} \frac{1}{x_{j} – x_{i}} \right | < \sum_{n}^{j=0} \frac{n!}{2^{n}} \prod_{i \neq j} \frac{1}{|x_{j} – x_{i}|} \leq$
$\leq \sum_{j=0}^{n} \frac{n!}{2^{n}} \frac{1}{\prod_{i < j}(j - i)} \frac{1}{\prod_{i > j}(i - j)} = \frac{1}{2^{n}} \sum_{j=0}^{n} \frac{n!}{j!(n - j)!} = \frac{1}{2^{n}} \sum_{j=0}^{n} C_{n}^{j} = 1$.
Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения задачи.
Пусть заданы целые числа $x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n}$. Доказать, что среди значений многочлена $x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n}$ в точках $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$ найдется такое число, которое по модулю не меньше чем $n!/2^{n}$.
Решение:
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа многочлен
$P(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n}$
можно представить в виде (ниже подразумевается, что $0 \leq i \leq n$)
$P(x) = \sum_{j=0}^{n} \left ( \prod_{i \neq j} \frac{x – x_{i}}{x_{j} – x_{i}} \right ) P(x_{j})$.
Предположим, что утверждение задачи не выполняется, т. е. $|P(x_{j})| < n!/2n$ при $j = 0, 1, \cdots, n$. Тогда старший коэффициент 1 многочлена $P(x)$, равный сумме старших коэффициентов в произведениях $\prod_{i \neq j} \frac{x – x_{i}}{x_{j} - x_{i}}$, по модулю не превосходит числа
$\left | \sum_{j=0}^{n} P(x_{j}) \prod_{i \neq j} \frac{1}{x_{j} – x_{i}} \right | < \sum_{n}^{j=0} \frac{n!}{2^{n}} \prod_{i \neq j} \frac{1}{|x_{j} – x_{i}|} \leq$
$\leq \sum_{j=0}^{n} \frac{n!}{2^{n}} \frac{1}{\prod_{i < j}(j - i)} \frac{1}{\prod_{i > j}(i - j)} = \frac{1}{2^{n}} \sum_{j=0}^{n} \frac{n!}{j!(n - j)!} = \frac{1}{2^{n}} \sum_{j=0}^{n} C_{n}^{j} = 1$.
Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения задачи.
