Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 464
2014-06-08 
Многочлен $P(x)$ степени $n$ удовлетворяет равенствам $P(k) = 1/C_{n+1}^{k}$ при $k = 0, 1, \cdots, n$. Найти $P(n+1)$.
Решение:
Используя интерполяционную формулу Лагранжа, получаем (ниже подразумевается, что $1 \leq i \leq n$)
$P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{C_{n+1}^{k}} \prod_{i \neq k} \frac{x - i}{k - i} = \sum_{k=0}^{n} \frac{\prod_{i \neq k} (x - i)}{C_{n+1}^{k}(-1)^{n-k}(n-k)!k!} = $
$= \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} \frac{(n+1-k)}{(n+1)!} \prod_{i \neq k}(x - i)$,
$P(n + 1) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} \frac{(n+1-k)}{(n+1)!} \prod_{i \neq k}(n + 1 - i) =$
$= \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n-k}}{(n+1)!} \prod_{i = 0}^{n}(n + 1 - i) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}$.
Поэтому $P(n + 1) = 0$, если $n$ нечетно, и $P(n + 1) = 1$, если $n$ четно.
Многочлен $P(x)$ степени $n$ удовлетворяет равенствам $P(k) = 1/C_{n+1}^{k}$ при $k = 0, 1, \cdots, n$. Найти $P(n+1)$.
Решение:
Используя интерполяционную формулу Лагранжа, получаем (ниже подразумевается, что $1 \leq i \leq n$)
$P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{C_{n+1}^{k}} \prod_{i \neq k} \frac{x - i}{k - i} = \sum_{k=0}^{n} \frac{\prod_{i \neq k} (x - i)}{C_{n+1}^{k}(-1)^{n-k}(n-k)!k!} = $
$= \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} \frac{(n+1-k)}{(n+1)!} \prod_{i \neq k}(x - i)$,
$P(n + 1) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} \frac{(n+1-k)}{(n+1)!} \prod_{i \neq k}(n + 1 - i) =$
$= \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n-k}}{(n+1)!} \prod_{i = 0}^{n}(n + 1 - i) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}$.
Поэтому $P(n + 1) = 0$, если $n$ нечетно, и $P(n + 1) = 1$, если $n$ четно.
