ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Многочлен $P(x)$ степени $n$ удовлетворяет равенствам $P(k) = k/(k + 1)$ при $k = 0,1, \cdots, n$. Найти $P(n + 1)$.


Решение:


Заметим, что существует только один многочлен $P(x)$, удовлетворяющий условиям задачи, так как если бы существовал другой многочлен $Q(x) \not \equiv P(x)$ с такими же свойствами, то многочлен $P(x) - Q(x)$ степени, не большей $n$, имел бы не менее $n + 1$ корней. Поскольку для многочлена $R(x) = x + \frac{1}{(n+1)!}(0 - x)(1 - x) \cdots (n – x)$ выполнено условие $R(-1) = 0$, то по теореме Безу этот многочлен делится на $x + 1$, т. е. $R(x) \equiv S(x)(x + 1)$, где $S(x)$ - многочлен степени $n$. Так как $R(x) = k$ и $S(k) = k/(k + 1)$ при $k = 0, 1, \cdots, n$, то $S(x)$ удовлетворяет условиям задачи, а значит, $P(x) \equiv S(x)$ и
$P(n+1) = \frac{R(n+1)}{n+1} = \frac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}$.