Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 462
2014-06-08 
Найти все пары многочленов $P(x), Q(x)$ третьей степени с действительными коэффициентами, удовлетворяющие четырем условиям:
а) оба многочлена в каждой из точек $x = 1, 2, 3, 4$ принимают значение 0 или 1;
б) если $P(1) = 0$ или $P(2)=1$, то $Q(1) = Q(3)=1$;
в) если $P(2) = 0$ или $P(4) = 0$, то $Q(2) = Q(4) = 0$;
г) если $P(3) =1$ или $P(4) = 1$, то $Q(1) = 0$.
Решение:
Пусть обозначено $\alpha_{k} = P(k), \beta_{k} = Q(k)$, где $k = 1, 2, 3, 4$, а многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ удовлетворяют условию задачи. Тогда «четырехзначные» числа $\overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}}$ и $\overline{\beta_{1} \beta_{2} \beta_{3} \beta_{4}}$ не равны ни одному из чисел 0000, 0110, 1001, 1111, так как многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ имеют третью степень. С другой стороны, число $\overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}}$ не может принимать ни одного из видов $\overline{0 \alpha_{2} 1 \alpha_{4}}, \overline{0 \alpha_{2}\alpha_{3} 1}, \overline{\alpha_{1} 11 \alpha_{4}}$ или $\overline{\alpha_{1} 1 \alpha_{3} 1}$, так как иначе из пп. б) и г) получаем противоречие: $\beta_{1} = 1$ и $\beta_{1} = 0$. Отсюда, учитывая п. в), заключаем, что условию задачи удовлетворяют следующие семь пар чисел ($\overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}}; \overline{\beta_{1} \beta_{2} \beta_{3} \beta_{4}}$) и только они: (0100; 1010), (1000; 0010), (1000; 1000), (1000; 1010), (1010; 0010), (1011; 0010) и (1100; 1010). Заметим, что при этом использованы всего шесть различных «четырехзначных» чисел, а именно, 0010, 0100, 1000, 1010, 1011 и 1100. Следуя интерполяционной формуле Лагранжа, каждому числу $\overline{\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3} \gamma_{4}}$ поставим в соответствие многочлен $R(x)$, удовлетворяющий равенствам $R(k) = \gamma_{k}$ при $k =1, 2, 3, 4$. Тогда получим соответственно шесть многочленов:
$R_{1}(x) = - \frac{1}{2}x^{3} + \frac{7}{2}x^{2} – 7x + 4$,
$R_{2}(x) = \frac{1}{2}x^{2} – 4x^{2} + \frac{19}{2}x - 6$,
$R_{3}(x) = - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} – \frac{13}{3} x + 4$,
$R_{4}(x) = - \frac{2}{3}x^{3} + 5x^{2} – \frac{34}{3}x + 8$,
$R_{5}(x) = - \frac{1}{2}x^{3} + 4x^{2} – \frac{19}{2}x + 7$,
$R_{1}(x) = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} – \frac{31}{6}x - 2$.
Итак, пара многочленов ($P(x); Q(x)$) совпадает с одной из пар: $(R_{2}(x); R_{4}(x)), (R_{2}(x); R_{4}(x)), (R_{3}(x); R_{1}(x)), (R_{3}(x); R_{3}(x)), (R_{3}(x); R_{4}(x)), (R_{4}(x); R_{1}(x)), (R_{5}(x); R_{1}(x)), (R_{6}(x); R_{4}(x))$.
Найти все пары многочленов $P(x), Q(x)$ третьей степени с действительными коэффициентами, удовлетворяющие четырем условиям:
а) оба многочлена в каждой из точек $x = 1, 2, 3, 4$ принимают значение 0 или 1;
б) если $P(1) = 0$ или $P(2)=1$, то $Q(1) = Q(3)=1$;
в) если $P(2) = 0$ или $P(4) = 0$, то $Q(2) = Q(4) = 0$;
г) если $P(3) =1$ или $P(4) = 1$, то $Q(1) = 0$.
Решение:
Пусть обозначено $\alpha_{k} = P(k), \beta_{k} = Q(k)$, где $k = 1, 2, 3, 4$, а многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ удовлетворяют условию задачи. Тогда «четырехзначные» числа $\overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}}$ и $\overline{\beta_{1} \beta_{2} \beta_{3} \beta_{4}}$ не равны ни одному из чисел 0000, 0110, 1001, 1111, так как многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ имеют третью степень. С другой стороны, число $\overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}}$ не может принимать ни одного из видов $\overline{0 \alpha_{2} 1 \alpha_{4}}, \overline{0 \alpha_{2}\alpha_{3} 1}, \overline{\alpha_{1} 11 \alpha_{4}}$ или $\overline{\alpha_{1} 1 \alpha_{3} 1}$, так как иначе из пп. б) и г) получаем противоречие: $\beta_{1} = 1$ и $\beta_{1} = 0$. Отсюда, учитывая п. в), заключаем, что условию задачи удовлетворяют следующие семь пар чисел ($\overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}}; \overline{\beta_{1} \beta_{2} \beta_{3} \beta_{4}}$) и только они: (0100; 1010), (1000; 0010), (1000; 1000), (1000; 1010), (1010; 0010), (1011; 0010) и (1100; 1010). Заметим, что при этом использованы всего шесть различных «четырехзначных» чисел, а именно, 0010, 0100, 1000, 1010, 1011 и 1100. Следуя интерполяционной формуле Лагранжа, каждому числу $\overline{\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3} \gamma_{4}}$ поставим в соответствие многочлен $R(x)$, удовлетворяющий равенствам $R(k) = \gamma_{k}$ при $k =1, 2, 3, 4$. Тогда получим соответственно шесть многочленов:
$R_{1}(x) = - \frac{1}{2}x^{3} + \frac{7}{2}x^{2} – 7x + 4$,
$R_{2}(x) = \frac{1}{2}x^{2} – 4x^{2} + \frac{19}{2}x - 6$,
$R_{3}(x) = - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} – \frac{13}{3} x + 4$,
$R_{4}(x) = - \frac{2}{3}x^{3} + 5x^{2} – \frac{34}{3}x + 8$,
$R_{5}(x) = - \frac{1}{2}x^{3} + 4x^{2} – \frac{19}{2}x + 7$,
$R_{1}(x) = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} – \frac{31}{6}x - 2$.
Итак, пара многочленов ($P(x); Q(x)$) совпадает с одной из пар: $(R_{2}(x); R_{4}(x)), (R_{2}(x); R_{4}(x)), (R_{3}(x); R_{1}(x)), (R_{3}(x); R_{3}(x)), (R_{3}(x); R_{4}(x)), (R_{4}(x); R_{1}(x)), (R_{5}(x); R_{1}(x)), (R_{6}(x); R_{4}(x))$.
