ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Пусть $p$ и $q$ - произвольные натуральные числа. Доказать, что существует такой многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами, что для всех значений из некоторого интервала $I \subset \mathbf{R}$ длины $1/q$ выполнено неравенство $|P(x) - p/q| < 1/q^{2}$.


Решение:


Если $q = 1$, то положим $P(x) \equiv p$. Пусть $q > 1$, тогда рассмотрим интервал $I =(1/(2q), 3/(2q))$ длины $1/q$. Так как $3/(2q) < 1$, то существует такое число $m \in \mathbf{N}$, что $(3/(2q))^{m} < 1/q$. Обозначим $a = 1 - (1/(2q))^{m}$, тогда имеем неравенства $0 < 1 – qx^{m} < a < 1$ для всех $x \in I$. Выберем число $n \in \mathbf{N}$ столь большим, чтобы выполнялось неравенство $a^{n} < \frac{1}{pq}$, и положим
$P(x) = \frac{p}{q}(1 - (1 – qx^{m})^{n})$.
Многочлен $P(x)$ имеет целые коэффициенты, так как
$P(x) \equiv \frac{p}{q}(1 - (1 – qx^{m})) Q (x) \equiv px^{m}Q(x)$,
а коэффициенты многочлена $Q(x)$ - целые числа. Далее, при $x \in I$ имеем
$\left | P(x) - \frac{p}{q} \right | = \frac{p}{q} |(1 – qx^{m})^{n}| < \frac{p}{q}a^{n} < \frac{1}{q^{2}}$,
что и требовалось доказать.