Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 460
2014-06-08 
Пусть М - множество всех многочленов вида
$P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (a, b, c, d \in \mathbf{R})$,
удовлетворяющих неравенству $|P(x)| \leq 1$ при $x \in [—1; 1]$. Доказать, что некоторое число $k$ осуществляет оценку для всех многочленов $P(x) \in M$. Найти наименьшее значение $k$.
Решение:
Многочлен $P_{0}(x) = 4x^{3} – 3x$ принадлежит множеству М, поскольку $P_{0}(-1) = -1, P_{0}(1) = 1$, а в точках его экстремума имеем $P_{0}(-1/2) = 1, P_{0}(1/2) = -1$. Докажем, что для любого многочлена $P(x) \in M$ имеет место оценка $|a| \leq 4$. Пусть, напротив, существует многочлен $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$, удовлетворяющий неравенствам $|a| > 4$ и $|P(x)| \leq 1$ при $|x| \leq 1$. Тогда рассмотрим ненулевой многочлен
$Q(x) = P_{0}(x) - \frac{4}{a}P(x)$,
степень которого не превосходит двух. Поскольку $\left | \frac{4}{a} P(x) \right | < 1$ при $|x| < 1$ то $Q(-1) < 0, Q(-1/2) > 0, Q(1/2) < 0, Q(1) > 0$, а значит, многочлен $Q(x)$ имеет не менее трех корней. Полученное противоречие доказывает, что искомое число $k$ равно 4.
Пусть М - множество всех многочленов вида
$P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (a, b, c, d \in \mathbf{R})$,
удовлетворяющих неравенству $|P(x)| \leq 1$ при $x \in [—1; 1]$. Доказать, что некоторое число $k$ осуществляет оценку для всех многочленов $P(x) \in M$. Найти наименьшее значение $k$.
Решение:
Многочлен $P_{0}(x) = 4x^{3} – 3x$ принадлежит множеству М, поскольку $P_{0}(-1) = -1, P_{0}(1) = 1$, а в точках его экстремума имеем $P_{0}(-1/2) = 1, P_{0}(1/2) = -1$. Докажем, что для любого многочлена $P(x) \in M$ имеет место оценка $|a| \leq 4$. Пусть, напротив, существует многочлен $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$, удовлетворяющий неравенствам $|a| > 4$ и $|P(x)| \leq 1$ при $|x| \leq 1$. Тогда рассмотрим ненулевой многочлен
$Q(x) = P_{0}(x) - \frac{4}{a}P(x)$,
степень которого не превосходит двух. Поскольку $\left | \frac{4}{a} P(x) \right | < 1$ при $|x| < 1$ то $Q(-1) < 0, Q(-1/2) > 0, Q(1/2) < 0, Q(1) > 0$, а значит, многочлен $Q(x)$ имеет не менее трех корней. Полученное противоречие доказывает, что искомое число $k$ равно 4.
