2014-06-07
Решить уравнение
$(x+2)^{4}-x^{4}=y^{3}$
в целых числах.
Решение:
Пусть пари чисел $x,y \in \mathbf{Z}$ удовлетворяет уравнению. Предположим, что $x \geq 0$, тогда
$y^{3}=8x^{3}+24x^{2}+32x+16=8(x^{3}+3x^{2}+4x+2)$.
Поэтому $y=2z(z \in \mathbf{Z})$ и
$z^{3}= x^{3}+3x^{2}+4x+2$.
Заметим, что
$(x+1)^{3}= x^{3}+3x^{2}+3x+1 < z^{3} < x^{3}+6x^{2}+12x+8=(x+2)^{3}$,
поэтому $x+1 < z < x+2$, что невозможно. Предположим, что $x \leq -2$, тогда пара чисел $x_{1}=-x-2 \geq 0, y_{1}=-y$ также удовлетворяет исходному уравнению, так как
$(x_{1}+2)^{4}-(x_{1})^{4}=x^{4}-(x+2)^{4}=-y^{3}=(y_{1})^{3}$
Но, как бит доказано выше, неравенство $x_{1} \geq 0$ приводит к противоречию. Таким образом, имеем оценки $-2 < х < 0$, из которых получаем единственное решение $x=-1, y=0$.