Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 459
2014-06-08 
Пусть $Q(x)$ - ненулевой многочлен. Доказать, что для каждого $n \in \mathbf{Z}^{+}$ многочлен $P(x) = (x -1)^{n}Q(x)$ имеет не менее $n + 1$ ненулевых коэффициентов.
Решение:
Докажем требуемое утверждение индукцией по числу $n \in \mathbf{Z}^{+}$. При $n = 0$ многочлен $P(x) = Q(x)$ имеет по крайней мере один ненулевой коэффициент, так как $Q(x) \not \equiv 0$. Пусть для некоторого $n \geq 1$ уже доказано, что если многочлен $R(x)$ ненулевой, то многочлен $(x-1)^{n-1}R(x)$ имеет не менее $n$ ненулевых коэффициентов. Предположим, что для некоторого ненулевого многочлена $Q(x) = x^{r}Q_{0}(x)$ (где $r \in \mathbf{Z}^{+}, Q_{0} \neq 0$) многочлен
$P(x) = (x - 1)^{n}Q(x) = x^{r}(x - 1)^{n}Q_{0}(x)$
имеет, вопреки утверждению задачи, не более $n$ ненулевых коэффициентов. Тогда многочлен $P_{0}(x) = (x - 1)^{n}Q_{0}(x)$ также имеет не более $n$ ненулевых коэффициентов, а его производная $P_{0}^{\prime}(x)$ - не более $n – 1$ ненулевых коэффициентов. Но
$P_{0}^{\prime} \equiv (x - 1)^{n}Q_{0}^{\prime}(x) + n (x - 1)^{n-1}Q_{0}(x) \equiv (x - 1)^{n-1}R(x)$,
где $R(x) \not \equiv 0$ (ибо $P_{0}(x)$ не есть константа). Получено противоречие с индукционным предположением. Утверждение задачи доказано.
Пусть $Q(x)$ - ненулевой многочлен. Доказать, что для каждого $n \in \mathbf{Z}^{+}$ многочлен $P(x) = (x -1)^{n}Q(x)$ имеет не менее $n + 1$ ненулевых коэффициентов.
Решение:
Докажем требуемое утверждение индукцией по числу $n \in \mathbf{Z}^{+}$. При $n = 0$ многочлен $P(x) = Q(x)$ имеет по крайней мере один ненулевой коэффициент, так как $Q(x) \not \equiv 0$. Пусть для некоторого $n \geq 1$ уже доказано, что если многочлен $R(x)$ ненулевой, то многочлен $(x-1)^{n-1}R(x)$ имеет не менее $n$ ненулевых коэффициентов. Предположим, что для некоторого ненулевого многочлена $Q(x) = x^{r}Q_{0}(x)$ (где $r \in \mathbf{Z}^{+}, Q_{0} \neq 0$) многочлен
$P(x) = (x - 1)^{n}Q(x) = x^{r}(x - 1)^{n}Q_{0}(x)$
имеет, вопреки утверждению задачи, не более $n$ ненулевых коэффициентов. Тогда многочлен $P_{0}(x) = (x - 1)^{n}Q_{0}(x)$ также имеет не более $n$ ненулевых коэффициентов, а его производная $P_{0}^{\prime}(x)$ - не более $n – 1$ ненулевых коэффициентов. Но
$P_{0}^{\prime} \equiv (x - 1)^{n}Q_{0}^{\prime}(x) + n (x - 1)^{n-1}Q_{0}(x) \equiv (x - 1)^{n-1}R(x)$,
где $R(x) \not \equiv 0$ (ибо $P_{0}(x)$ не есть константа). Получено противоречие с индукционным предположением. Утверждение задачи доказано.
