Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 456
2014-06-08 
Пусть $\{a_{n}\}$ - последовательность чисел (Фибоначчи), определяемая равенствами $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n+2} = a_{n+1} +a_{n} (n \in \mathbf{N})$. Доказать, что если многочлен $P(x)$ степени 990 удовлетворяет условиям $P(k) = a_{k}$ при $k = 992, \cdots, 1982$, то $P(1983) = a_{1983} - 1$.
Решение:
Докажем индукцией по $n \in \mathbf{N}$ общее утверждение, если многочлен $P(x)$ степени $n$ удовлетворяет условиям $P(k) = a_{k}$ при $k = n + 2, \cdots, 2n + 2$, то $P(2n + 3) = a_{2n+3} – 1$. При $n = 1$ имеем $P(3) = 2, P(4) = 3$, откуда $P(x) \equiv x – 1$ и $P(5) = 4 = a_{5} – 1$. Пусть теперь утверждение верно для числа $n – 1$. Докажем, что оно верно и для числа $n$. Пусть многочлен $P(x)$ имеет степень $n$ и $P(k) = a_{k}$ для всех $k = n + 2, \cdots, 2n + 2$. Рассмотрим многочлен $Q(x) = P(x+2) – P(x + 1)$ степени не выше $n – 1$. Он удовлетворяет условиям $Q(k) = a_{k}$ при $k = n + 1, \cdots, 2n$, так как $Q(k) = P(k + 2) - P(k + 1) = a_{k+2} – a_{k+1} = a_{k}$. Значит, $Q(2n + 1) = a_{2n+1} – 1$ по предположению индукции. Но $Q(2n + 1) = P(2n + 3) - P(2n + 2)$ и, следовательно, $P(2n + 3) = P(2n+2) + Q(2n + 1) = a_{2n+2} + a_{2n+1} – 1$. Утверждение доказано.
Пусть $\{a_{n}\}$ - последовательность чисел (Фибоначчи), определяемая равенствами $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n+2} = a_{n+1} +a_{n} (n \in \mathbf{N})$. Доказать, что если многочлен $P(x)$ степени 990 удовлетворяет условиям $P(k) = a_{k}$ при $k = 992, \cdots, 1982$, то $P(1983) = a_{1983} - 1$.
Решение:
Докажем индукцией по $n \in \mathbf{N}$ общее утверждение, если многочлен $P(x)$ степени $n$ удовлетворяет условиям $P(k) = a_{k}$ при $k = n + 2, \cdots, 2n + 2$, то $P(2n + 3) = a_{2n+3} – 1$. При $n = 1$ имеем $P(3) = 2, P(4) = 3$, откуда $P(x) \equiv x – 1$ и $P(5) = 4 = a_{5} – 1$. Пусть теперь утверждение верно для числа $n – 1$. Докажем, что оно верно и для числа $n$. Пусть многочлен $P(x)$ имеет степень $n$ и $P(k) = a_{k}$ для всех $k = n + 2, \cdots, 2n + 2$. Рассмотрим многочлен $Q(x) = P(x+2) – P(x + 1)$ степени не выше $n – 1$. Он удовлетворяет условиям $Q(k) = a_{k}$ при $k = n + 1, \cdots, 2n$, так как $Q(k) = P(k + 2) - P(k + 1) = a_{k+2} – a_{k+1} = a_{k}$. Значит, $Q(2n + 1) = a_{2n+1} – 1$ по предположению индукции. Но $Q(2n + 1) = P(2n + 3) - P(2n + 2)$ и, следовательно, $P(2n + 3) = P(2n+2) + Q(2n + 1) = a_{2n+2} + a_{2n+1} – 1$. Утверждение доказано.
