ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
а) Доказать, что не существует многочлена $P(x)$, для которого при любом $x \in \mathbf{R}$ выполнены неравенства: 1) $P^{\prime}(x) > P^{\prime \prime}(x)$ и 2) $P(x) > P^{\prime \prime}(х)$.
б) Будет ли верно утверждение а), если неравенство 1) заменить неравенством $1^{\prime}) P(x) > P^{\prime}(x)$?


Решение:


а) Если $P(x)$ - константа, то $P^{\prime}(x) \equiv P^{\prime \prime} \equiv 0$, и неравенство 1) не выполнено. Пусть $deg P(x) = n \geq 1$, тогда если $n$ нечетно, то $deg (P(x) – P^{\prime \prime}(x)) = n$ - нечетное число, откуда $ P(x) – P^{\prime \prime}(x) \leq 0$ хотя бы в одной точке $x \in \mathbf{R}$, если же $n$ четно, то $deg( P^{\prime}(x) – P^{\prime \prime}(x)) = n – 1$ - нечетное число, откуда $P^{\prime}(x) – P^{\prime \prime}(x) \leq 0$ хотя бы в одной точке $x \in \mathbf{R}$. Таким образом, для любого многочлена $P(x)$ не выполнено либо неравенство 2), либо неравенство 1). Утверждение а) доказано.
б) Положим $P(x) = x^{2} + 3$. Тогда при всех $x \in \mathbf{R}$ имеем
$P(x) – P^{\prime}(x) \equiv x^{2} – 2x + 3 > 0, P(x) – P^{\prime \prime}(x) \equiv x^{2} + 1 >0$,
т. е. ответ на вопрос п. б) отрицателен.