Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 453
2014-06-08 
Найти хотя бы одно множество М, состоящее из 7 последовательных натуральных чисел, для которого существует многочлен $P(x)$ пятой степени со следующими свойствами:
а) все коэффициенты многочлена $P(x)$ - целые числа;
б) для пяти чисел $k \in M$, включая наименьшее и наибольшее числа, выполнено равенство $P(k) = k$;
в) $P(k) = 0$ для одного числа $k \in M$.
Решение:
Множество $M = \{25; 26; 27; 28; 29; 30; 31\}$ и многочлен $P(x) = x + (x - 25)(x - 27)(x - 28)(x - 29)(x - 31)$ удовлетворяют всем условиям задачи (при этом условие 6) выполнено для $k = 25, 27, 28, 29, 31$, а условие в) - для $k =30$).
Найти хотя бы одно множество М, состоящее из 7 последовательных натуральных чисел, для которого существует многочлен $P(x)$ пятой степени со следующими свойствами:
а) все коэффициенты многочлена $P(x)$ - целые числа;
б) для пяти чисел $k \in M$, включая наименьшее и наибольшее числа, выполнено равенство $P(k) = k$;
в) $P(k) = 0$ для одного числа $k \in M$.
Решение:
Множество $M = \{25; 26; 27; 28; 29; 30; 31\}$ и многочлен $P(x) = x + (x - 25)(x - 27)(x - 28)(x - 29)(x - 31)$ удовлетворяют всем условиям задачи (при этом условие 6) выполнено для $k = 25, 27, 28, 29, 31$, а условие в) - для $k =30$).
