Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 451
2014-06-08 
Для заданных чисел $p, q \mathbf{R}$ найти все значения, которые многочлен $P(x) = x^{2} + px + q$ принимает при $x \in [-1; 1]$.
Решение:
Функция $P(x)$ имеет на прямой одну точку минимума $x_{0} = -p/2$. При $x < x_{0}$ эта функция убывает, а при $x > x_{0}$ - возрастает. Поэтому для множества А значений функции $P(x)$ на отрезке $[-1; 1]$ имеем следующее: если $p < - 2$, то $x_{0} > 1$ и
$A = [P(1); P(-1)] = [1 + p +q;1 – p + q]$;
если $- 2 \leq p \leq 2$, то $- 1 \leq x_{0} \leq 1$ и
$A = [P(x_{0}); max \{ P(-1); P(1) \}]$,
т. е.
$A = [q – p^{2}/4; 1 – p + q]$ при $- 2 \leq p \leq 0$
и
$A = [q – p^{2}/4; 1 + p + q]$ при $0 \leq p \leq 2$;
если $p > 2$, то $x_{0} < -1$ и
$A = [P(-1); P(1)] = [1 – p + q; 1 + p + q]$.
Для заданных чисел $p, q \mathbf{R}$ найти все значения, которые многочлен $P(x) = x^{2} + px + q$ принимает при $x \in [-1; 1]$.
Решение:
Функция $P(x)$ имеет на прямой одну точку минимума $x_{0} = -p/2$. При $x < x_{0}$ эта функция убывает, а при $x > x_{0}$ - возрастает. Поэтому для множества А значений функции $P(x)$ на отрезке $[-1; 1]$ имеем следующее: если $p < - 2$, то $x_{0} > 1$ и
$A = [P(1); P(-1)] = [1 + p +q;1 – p + q]$;
если $- 2 \leq p \leq 2$, то $- 1 \leq x_{0} \leq 1$ и
$A = [P(x_{0}); max \{ P(-1); P(1) \}]$,
т. е.
$A = [q – p^{2}/4; 1 – p + q]$ при $- 2 \leq p \leq 0$
и
$A = [q – p^{2}/4; 1 + p + q]$ при $0 \leq p \leq 2$;
если $p > 2$, то $x_{0} < -1$ и
$A = [P(-1); P(1)] = [1 – p + q; 1 + p + q]$.
