2014-06-07
Решить уравнение
$x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}y^{2}$
В целых числах.
Решение:
Пусть пара чисел $x,y \in \mathbf{Z}$ удовлетворяет уравнению, тогда
$x^{2}+2xy+y^{2}=x^{2}y^{2}+xy$, т.е. $(x+y)^{2}=xy(xy+1)$.
Если $xy > 0$, то
$xy+1 > \sqrt{xy(xy+1)} > xy$.
В этом случае число
$|x+y|=\sqrt{xy(xy+1)}$
лежит между двумя последовательными целыми числами $xy$ и $xy+1$, а значит, не может быть целым. Аналогично, если $xy < -1$, то
$-xy-1 < \sqrt{xy(xy+1)} < -xy$,
а значит, числи $|x+y|$ снова не может быть целым. Итак, имеем либо $xy=0$, либо $xy=-1$. В обоих случаях уравнение равносильно равенству $x+y=0$, поэтому либо $x=y=0$, либо $x=-y=\pm 1$ соответственно. Таким образом, получаем ответ: (0; 0),(1;-1), (-1;1).