Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 449
2014-06-08 
Доказать, что многочлен
$P(x) = \frac{1}{630} x^{9} - \frac{1}{21}x^{7} + \frac{13}{30} x^{5} - \frac{82}{63}x^{3} + \frac{32}{35} x$
при всех $x \in \mathbf{Z}$ принимает целые значения.
Решение:
Заметим, что исходный многочлен можно представить в виде
$P(x) = \frac{1}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}(x - 4)(x - 3)(x - 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$.
Поскольку среди девяти последовательных целых чисел обязательно найдутся числа, делящиеся на 2, 5, 7, 9, то при любом $x \in \mathbf{Z}$ произведение $\prod_{i=-4}^{4}(x+i)$ делится на $2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9$ (произведение взаимно простых чисел), т. е. число $P(x)$ является целым.
Доказать, что многочлен
$P(x) = \frac{1}{630} x^{9} - \frac{1}{21}x^{7} + \frac{13}{30} x^{5} - \frac{82}{63}x^{3} + \frac{32}{35} x$
при всех $x \in \mathbf{Z}$ принимает целые значения.
Решение:
Заметим, что исходный многочлен можно представить в виде
$P(x) = \frac{1}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}(x - 4)(x - 3)(x - 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$.
Поскольку среди девяти последовательных целых чисел обязательно найдутся числа, делящиеся на 2, 5, 7, 9, то при любом $x \in \mathbf{Z}$ произведение $\prod_{i=-4}^{4}(x+i)$ делится на $2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9$ (произведение взаимно простых чисел), т. е. число $P(x)$ является целым.
