Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 448
2014-06-08 
При каких ограничениях на целые числа $p$ и $q$:
а) многочлен $P(x) = x^{2} + px + q$ принимает при всех $x \in \mathbf{Z}$ четные (нечетные) значения;
б) многочлен $Q(x) = x^{3} + px + q$ принимает при всех $x \in \mathbf{Z}$ значения, делящиеся на 3?
Решение:
а) Значения $P(x)$ при всех $x \in \mathbf{Z}$ имеют одинаковую четность тогда и только тогда, когда каждое из чисел
$P(x + 1) - P(x) = ((x + 1)^{2} + p(x + 1) + q) – (x^{2} + px + q) = 2x + 1+ p$
делится на 2, т. е. когда $p$ нечетно. При этом четность всех значений $P(x)$ однозначно определяется по четности числа $q = P(0)$. Таким образом, все значения $P(x)$ четны (нечетны) при нечетном $p$ и четном (соответственно нечетном) $q$.
б) Поскольку $Q(x) = x(x^{2} + p) + q$, то значения $Q(3x) = 3x (9x^{2} + p) + q$ при всех $x \in \mathbf{Z}$ делятся на 3 тогда и только тогда, когда число $q$ делится на 3. При этом каждое из значений
$Q(3x \pm 1) = (3x \pm 1)(9x^{2} \pm 6x + 1 + p) + q \equiv \pm(1 + p)(\mod 3)$
делится на 3 в том и только в том случае, когда число $1 + p$ делится на 3. Таким образом, все значения $Q(x)$ делятся на 3 при условиях
$q \equiv 0(\mod 3), p \equiv 2 (\mod 3)$.
При каких ограничениях на целые числа $p$ и $q$:
а) многочлен $P(x) = x^{2} + px + q$ принимает при всех $x \in \mathbf{Z}$ четные (нечетные) значения;
б) многочлен $Q(x) = x^{3} + px + q$ принимает при всех $x \in \mathbf{Z}$ значения, делящиеся на 3?
Решение:
а) Значения $P(x)$ при всех $x \in \mathbf{Z}$ имеют одинаковую четность тогда и только тогда, когда каждое из чисел
$P(x + 1) - P(x) = ((x + 1)^{2} + p(x + 1) + q) – (x^{2} + px + q) = 2x + 1+ p$
делится на 2, т. е. когда $p$ нечетно. При этом четность всех значений $P(x)$ однозначно определяется по четности числа $q = P(0)$. Таким образом, все значения $P(x)$ четны (нечетны) при нечетном $p$ и четном (соответственно нечетном) $q$.
б) Поскольку $Q(x) = x(x^{2} + p) + q$, то значения $Q(3x) = 3x (9x^{2} + p) + q$ при всех $x \in \mathbf{Z}$ делятся на 3 тогда и только тогда, когда число $q$ делится на 3. При этом каждое из значений
$Q(3x \pm 1) = (3x \pm 1)(9x^{2} \pm 6x + 1 + p) + q \equiv \pm(1 + p)(\mod 3)$
делится на 3 в том и только в том случае, когда число $1 + p$ делится на 3. Таким образом, все значения $Q(x)$ делятся на 3 при условиях
$q \equiv 0(\mod 3), p \equiv 2 (\mod 3)$.
