ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Пусть для многочленов $P(x), Q(x)$ степени больше 0 обозначено
$P_{c} = \{ z \in \mathbf{C} | P(x) = c \}, Q_{c} = \{z \in \mathbf{C}| Q(z) = c \}$.
Доказать, что если $P_{0} = Q_{0}$ и $P_{1} = Q_{1}$ то $P(x) \equiv Q(x), x \in \mathbf{R}$.


Решение:


Если многочлен $P(x)$ имеет корни $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}$ кратностей $k_{1}, \cdots, k_{s}$ соответственно, то многочлен $Q(x)$ имеет те же корни (но, возможно, других кратностей), так как $P_{0} = Q_{0}$. Аналогично, если многочлен $P(x) – 1$ имеет корни $\beta_{1}, \cdots, \beta_{r}$ кратностей $l_{1}, \cdots, l_{r}$ соответственно, то многочлен $Q(x) – 1$ имеет те же корни, так как $P_{1} = Q_{1}$. Поэтому каждое из попарно различных чисел $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{r}$ является корнем многочлена $P(x) - Q(x)$. Предположим, что $P(x) - Q(x) \not \equiv 0$, тогда $deg (P(x) - Q(x)) \geq s + r$. Не уменьшая общности, считаем, что $deg P(x) \geq deg Q(x) \geq 1$. Поэтому
$deg P(x) = deg (P(x) - 1) \geq deg (P(x) - Q(x))$.
Далее, если кратность корня $\gamma$ многочлена $P(x) - c$ равна $m > 1$, то многочлен $P^{\prime}(x)$ имеет корень $\gamma$ кратности $m – 1$. Поэтому имеем $deg P^{\prime}(x) \geq (k_{1} - 1) + \cdots + (k_{s} – 1) + (l_{1} - 1) + \cdots + (l_{r} - 1) =$
$= (k_{1} + \cdots + k_{s}) + (l_{1} + \cdots + l_{r}) - (s + r) \geq$
$\geq deg P(x) + deg (P(x) - 1) - deg (P(x) - Q(x)) \geq deg P(x)$,
что противоречит неравенству $deg P^{\prime}(x) < deg P(x)$. Следовательно, $P(x) \equiv Q(x)$.