Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 445
2014-06-08 
Для каких значений $n \in \mathbf{N}$ существуют ненулевые многочлены $P$ и $Q$ от $n$ переменных с целыми коэффициентами, удовлетворяющие тождеству
$(x_{1} x_{2} + \cdots + x_{n})P(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) \equiv Q(x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, \cdots, x_{n}^{2}), x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbf{R}$?
Решение:
Обозначим через $A_{n}$ множество $2^{n}$ всевозможных наборов $\varepsilon = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{n})$, состоящих из чисел $\varepsilon_{i}$, каждое из которых равно либо 1, либо -1. Обозначим также $x_{\varepsilon} = \varepsilon_{1}x_{1} + \cdots + \varepsilon_{n}x_{n}$ и докажем, что произведение $\prod_{\varepsilon \in A_{n}} x_{\varepsilon}$ для каждого $n \in \mathbf{N}$ представляется в виде $Q_{n}(x_{1}^{2}, \cdots, x_{n}^{2})$, $Q_{n}$ - некоторый многочлен с целыми коэффициентами. Для $n = 1$ это утверждение верно, так как
$\prod_{\varepsilon \in A_{1}} x_{\varepsilon} \equiv x_{1}(-x_{1}) = Q_{1}(x_{1}^{2})$.
Пусть теперь $n > 1$ и $k \in \{1; 2; \cdots; n \}$; тогда, если обозначить
$\varepsilon^{\prime} = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{k-1};\varepsilon_{k+1}; \cdots; \varepsilon_{n})$,
то будем иметь
$\prod_{\varepsilon \in A_{n}} x_{\varepsilon} \equiv \prod_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}} ((x_{\varepsilon^{\prime}} + x_{k})( x_{\varepsilon^{\prime}} - x_{k})) \equiv \prod_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}} (x_{\varepsilon^{\prime}}^{2} - x_{k}^{2})$
Если в последнем произведении раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится некоторый многочлен (с целыми коэффициентами) от переменных $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, причем переменная $x_{k}$ в каждом одночлене будет иметь четную степень. Поскольку индекс $k$ произвольный, то аналогичное утверждение справедливо для каждой из переменных $x_{1}, \cdots, x_{n}$. Таким образом, доказано представление
$\prod_{\varepsilon \in A_{n}} x_{\varepsilon} Q_{n}(x_{1}^{2}, \cdots, x_{n}^{2})$.
Заметим, что многочлен $Q_{n}$ ненулевой, так как
$|Q_{n}(1, 0, \cdots, 0)| = 1$.
Выделяя в произведении
$\prod_{\varepsilon \in A_{n}} (\varepsilon_{1}x_{1} + \cdots + \varepsilon_{n}x_{n}) $
сомножитель $x_{1} + \cdots + x_{n}$, получающийся при $\varepsilon = (1; \cdots; 1)$, и обозначая многочлен (с целыми коэффициентами от $n$ переменных), равный произведению всех остальных сомножителей, через $P_{n}$, получаем требуемое тождество
$(x_{1}+ \cdots + x_{n})P_{n}(x_{1}, \cdots, x_{n}) = Q_{n}(x_{1}^{2}, \cdots, x_{n}^{2})$
для любого значения $n \in \mathbf{N}$.
Для каких значений $n \in \mathbf{N}$ существуют ненулевые многочлены $P$ и $Q$ от $n$ переменных с целыми коэффициентами, удовлетворяющие тождеству
$(x_{1} x_{2} + \cdots + x_{n})P(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) \equiv Q(x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, \cdots, x_{n}^{2}), x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbf{R}$?
Решение:
Обозначим через $A_{n}$ множество $2^{n}$ всевозможных наборов $\varepsilon = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{n})$, состоящих из чисел $\varepsilon_{i}$, каждое из которых равно либо 1, либо -1. Обозначим также $x_{\varepsilon} = \varepsilon_{1}x_{1} + \cdots + \varepsilon_{n}x_{n}$ и докажем, что произведение $\prod_{\varepsilon \in A_{n}} x_{\varepsilon}$ для каждого $n \in \mathbf{N}$ представляется в виде $Q_{n}(x_{1}^{2}, \cdots, x_{n}^{2})$, $Q_{n}$ - некоторый многочлен с целыми коэффициентами. Для $n = 1$ это утверждение верно, так как
$\prod_{\varepsilon \in A_{1}} x_{\varepsilon} \equiv x_{1}(-x_{1}) = Q_{1}(x_{1}^{2})$.
Пусть теперь $n > 1$ и $k \in \{1; 2; \cdots; n \}$; тогда, если обозначить
$\varepsilon^{\prime} = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{k-1};\varepsilon_{k+1}; \cdots; \varepsilon_{n})$,
то будем иметь
$\prod_{\varepsilon \in A_{n}} x_{\varepsilon} \equiv \prod_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}} ((x_{\varepsilon^{\prime}} + x_{k})( x_{\varepsilon^{\prime}} - x_{k})) \equiv \prod_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}} (x_{\varepsilon^{\prime}}^{2} - x_{k}^{2})$
Если в последнем произведении раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится некоторый многочлен (с целыми коэффициентами) от переменных $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, причем переменная $x_{k}$ в каждом одночлене будет иметь четную степень. Поскольку индекс $k$ произвольный, то аналогичное утверждение справедливо для каждой из переменных $x_{1}, \cdots, x_{n}$. Таким образом, доказано представление
$\prod_{\varepsilon \in A_{n}} x_{\varepsilon} Q_{n}(x_{1}^{2}, \cdots, x_{n}^{2})$.
Заметим, что многочлен $Q_{n}$ ненулевой, так как
$|Q_{n}(1, 0, \cdots, 0)| = 1$.
Выделяя в произведении
$\prod_{\varepsilon \in A_{n}} (\varepsilon_{1}x_{1} + \cdots + \varepsilon_{n}x_{n}) $
сомножитель $x_{1} + \cdots + x_{n}$, получающийся при $\varepsilon = (1; \cdots; 1)$, и обозначая многочлен (с целыми коэффициентами от $n$ переменных), равный произведению всех остальных сомножителей, через $P_{n}$, получаем требуемое тождество
$(x_{1}+ \cdots + x_{n})P_{n}(x_{1}, \cdots, x_{n}) = Q_{n}(x_{1}^{2}, \cdots, x_{n}^{2})$
для любого значения $n \in \mathbf{N}$.
