ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Пусть $A(n)$ - множество многочленов вида
$P(x) =a_{0} + a_{1}x + \cdots + a_{n}x^{n}$,
где $0 \leq a_{0} = a_{n} \leq a_{1} = a_{n-1} \leq \cdots \leq a_{[n/2]} = a_{[(n+1)/2]}$. Доказать, что если $P(x) \in A(n)$ и $Q(x) \in A(m)$, то многочлен $P(x) \: Q(x)$ принадлежит множеству $A(m + n)$.


Решение:


Введем обозначение $R_{n,i} = x^{i} + x^{i+1} + \cdots + x^{n-i}$, где $i = 0,1, \cdots, [n/2]$. Тогда любой многочлен $P(x) \in A(n)$ представим в виде
$P(x) =a_{0}R_{n,0}(x) + (a_{1}-a_{0})R_{n,1}(x) + \cdots + (a_{[n/2]} – a_{[n/2]-1}) R_{n,[n/2]}(x) = \sum_{i=0}^{[n/2]} b_{i}R_{n,i}(x)$,
где $b_{0} = a_{0}, b_{i} = a_{i} – a_{i-1} (i = 1, \cdots, [n/2]$) - неотрицательные числа. Аналогично, если $Q(x) \in A(m)$, то
$Q(x) = \sum_{j=0}^{[m/2]}c_{j}R_{m,j}(x)$,
где $c_{j} \geq 0, j = 0, 1, \cdots, [m/2]$. Наконец, если $P(x) \in A(n)$ и $Q(x) \in A(m)$,
то многочлен
$P(x)Q(x) = \sum_{i,j} b_{i}c_{j}R_{n,i}(x)R_{m,j}(x)$
принадлежит множеству $A(m+n)$. Для доказательства этого утверждения достаточно проверить, что $R_{n,i}(x)R_{m, j}(x) \in A(m+n)$ при любых значениях $i \leq n/2, j \leq < m/2$. Действительно, обозначим $p = n – 2i, q = m – 2j$ и предположим для определенности, что $p \leq q$. Тогда многочлен
$R_{n,i}(x) \cdot R_{m,j}(x) \equiv x^{i}(1+x+ \cdots + x^{p})x^{j}(1+x+ \cdots + x^{q}) \equiv$
$\equiv x^{i+j}(R_{p+q,0}(x) + R_{p+q,q}(x) + \cdots + R_{p+q,p}(x)) \equiv$
$\equiv R_{m+n,j+i}(x) + R_{m+n,j+i+1}(x) + \cdots + R_{m+n,j+n-i}(x)$
принадлежит множеству $A(m+n)$. Утверждение доказано.