Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 442
2014-06-08 
Доказать, что если многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами принимает при всех $x \in \mathbf{R}$ только неотрицательные значения, то он представим в виде
$P(x) = Q_{1}^{2}(x)+ \cdots + Q_{n}^{2}(x)$,
где $Q_{1}(x), \cdots, Q_{n}(x)$ - некоторые многочлены с действительными коэффициентами.
Решение:
Докажем утверждение задачи индукцией по числу $m$ тех корней ненулевого многочлена $P(x)$, которые не являются действительными числами (если $P(x) \equiv 0$, то положим $n = 1$ и $Q_{1}(x) = 0$). Пусть $m = 0$ и многочлен $P(x)$ удовлетворяет условию задачи. Тогда любой из его корней действителен и имеет четную кратность (если $P(x) \equiv (x - \alpha)^{l}R(x)$, где $\alpha \in \mathbf{R}$ и $l$ нечетно, то $R(x) \geq 0$ при всех $x > \alpha$ и $R(x) \leq 0$ при всех $x < alphа$, откуда число $\alpha$ является корнем многочлена $R(x)$). Поэтому имеет место тождество
$P(x) \equiv a(x - \alpha_{1})^{2l_{1}}(x – \alpha_{2})^{2l_{2}} \cdots (x - \alpha_{k})^{2l_{k}}$,
где $a > 0, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k} \in \mathbf{R}, l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{k} \in \mathbf{Z}^{+}$. Положим $n = 1$ и
$Q_{1})(x) = \sqrt{a}(x - \alpha_{1})^{l_{1}}(x - \alpha_{2})^{l_{2}} \cdots (x - \alpha_{k})^{l_{k}}$,
тогда $P(x) \equiv Q_{1}^{2}(x)$. Пусть утверждение доказано для всех значений, меньших $m \in \mathbf{N}$. Докажем, что оно верно и для значения $m$. В самом деле, если многочлен $P(x)$, удовлетворяющий условию задачи, имеет $m$ корней, не являющихся действительными числами, то он представим в виде $P(x) = (x^{2} + 2px + q)R(x)$, где $p^{2} < q$ (т.е. $x^{2} + 2px +q = (x+p)^{2} + (q-p^{2}) > 0$ при всех $x \in \mathbf{R}$), а многочлен $R(x)$, согласно предположению индукции, для некоторых многочленов $Q_{1}(x), \cdots, Q_{n}(x)$ удовлетворяет тождеству
$R(x) \equiv Q_{1}^{2}(x) + \cdots +Q_{n}^{2}(x)$.
Тогда из тождества
$P(x) \equiv ((x + p)^{2} + c^{2})(Q_{1}^{2}(x) + \cdots + Q_{n}^{2}(x))$,
где $c = \sqrt{q – p^{2}}$, вытекает, что многочлен $P(x)$ представим в виде суммы квадратов некоторых многочленов с действительными коэффициентами.
Доказать, что если многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами принимает при всех $x \in \mathbf{R}$ только неотрицательные значения, то он представим в виде
$P(x) = Q_{1}^{2}(x)+ \cdots + Q_{n}^{2}(x)$,
где $Q_{1}(x), \cdots, Q_{n}(x)$ - некоторые многочлены с действительными коэффициентами.
Решение:
Докажем утверждение задачи индукцией по числу $m$ тех корней ненулевого многочлена $P(x)$, которые не являются действительными числами (если $P(x) \equiv 0$, то положим $n = 1$ и $Q_{1}(x) = 0$). Пусть $m = 0$ и многочлен $P(x)$ удовлетворяет условию задачи. Тогда любой из его корней действителен и имеет четную кратность (если $P(x) \equiv (x - \alpha)^{l}R(x)$, где $\alpha \in \mathbf{R}$ и $l$ нечетно, то $R(x) \geq 0$ при всех $x > \alpha$ и $R(x) \leq 0$ при всех $x < alphа$, откуда число $\alpha$ является корнем многочлена $R(x)$). Поэтому имеет место тождество
$P(x) \equiv a(x - \alpha_{1})^{2l_{1}}(x – \alpha_{2})^{2l_{2}} \cdots (x - \alpha_{k})^{2l_{k}}$,
где $a > 0, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k} \in \mathbf{R}, l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{k} \in \mathbf{Z}^{+}$. Положим $n = 1$ и
$Q_{1})(x) = \sqrt{a}(x - \alpha_{1})^{l_{1}}(x - \alpha_{2})^{l_{2}} \cdots (x - \alpha_{k})^{l_{k}}$,
тогда $P(x) \equiv Q_{1}^{2}(x)$. Пусть утверждение доказано для всех значений, меньших $m \in \mathbf{N}$. Докажем, что оно верно и для значения $m$. В самом деле, если многочлен $P(x)$, удовлетворяющий условию задачи, имеет $m$ корней, не являющихся действительными числами, то он представим в виде $P(x) = (x^{2} + 2px + q)R(x)$, где $p^{2} < q$ (т.е. $x^{2} + 2px +q = (x+p)^{2} + (q-p^{2}) > 0$ при всех $x \in \mathbf{R}$), а многочлен $R(x)$, согласно предположению индукции, для некоторых многочленов $Q_{1}(x), \cdots, Q_{n}(x)$ удовлетворяет тождеству
$R(x) \equiv Q_{1}^{2}(x) + \cdots +Q_{n}^{2}(x)$.
Тогда из тождества
$P(x) \equiv ((x + p)^{2} + c^{2})(Q_{1}^{2}(x) + \cdots + Q_{n}^{2}(x))$,
где $c = \sqrt{q – p^{2}}$, вытекает, что многочлен $P(x)$ представим в виде суммы квадратов некоторых многочленов с действительными коэффициентами.
