ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Доказать, что многочлен $P(z)$ представляет собой четную функцию от $z \in \mathbf{C}$ тогда и только тогда, когда существует многочлен $Q(z)$, удовлетворяющий тождеству
$P(z) \equiv Q(z)Q(-z), z \in \mathbf{C}$.


Решение:


Если $P(z) \equiv Q(z)Q(-z)$, то $P(-z) \equiv Q(-z)Q(z) \equiv P(z)$, т. е. $P(z)$ - четная функция. Пусть теперь известно, что ненулевой многочлен $P(z)$ - четная функция (если $P(z) = 0$, то положим $Q(z) = 0$). Докажем индукцией по числу $m$ ненулевых корней многочлена $P(z)$, что существует многочлен $Q(z)$, удовлетворяющий тождеству $P(z) = Q(z)Q(-z)$. При $m = 0$ многочлен $P(z)$ имеет вид $P(z) = az^{n}$, причем $a \neq 0$, и из четности функции $P(z)$ вытекает, что $n = 2k$, где $k \in \mathbf{Z}^{+}$. Тогда многочлен $Q(z) = bz^{k}$, где $b^{2} = (-1)^{k}a$, удовлетворяет требуемому тождеству, так как $az^{n} \equiv bz^{k}b(-z)^{k}$. Пусть утверждение доказано для всех значений, меньших $m \in \mathbf{N}$. Докажем, что оно верно и для значения $m$. Действительно, если $\alpha$ - ненулевой корень многочлена $P(z)$, то $P(- \alpha) = P(\alpha) = 0$, поэтому
$P(z) \equiv (z - \alpha)(z + \alpha)R(z)$,
где многочлен $R(z)$ - четная функция (ибо $R(- z)((- z)^{2}- \alpha^{2}) \equiv P(-z) \equiv P(z) \equiv R(z)(z^{2} - \alpha^{2})$. Согласно предположению индукции существует многочлен $S(z)$, удовлетворяющий тождеству $R(z) \equiv S(z)S(-z)$. Положим $Q(z) = i(z - \alpha)S(z)$, тогда
$P(z) \equiv i(z - \alpha)S(z)i(- z - \alpha)S(- z) \equiv Q(z)Q(-z)$.
Утверждение доказано.