2014-06-07
Решить уравнение
$x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$
в целых числах.
Решение:
Пусть уравнению удовлетворяет некоторая пара чисел $x,y \in \mathbf{Z}$. Предположим, что $x>0$. Тогда имеем
$(x^{3}+1)^{2}=x^{6}+2x^{3}+1< x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}< x^{6}+4x^{3}+4=(x^{3}+2)^{2}$,
откуда получаем, что число $y^{2}$ не может быть целым, так как
$x^{3}+1 < y^{2} < x^{3}+2$.
Аналогичное противоречие получаем и при $x \leq -2$. Действительно, в этом случае $x^{3} + 3 < 0$. а значит, имеем
$(x^{3}+2)^{2}=x^{6}+4x^{3}+4< x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}< x^{6}+2x^{3}+1=(x^{3}+1)^{2}$,
откуда получаем соотношения
$-(x^{3}+2)=|x^{3}+2| < y^{3} < |x^{3}+1|=-(x^{3}+1)$,
не выполняющиеся ни при каком целом значении $y$. Далее, при $x = - 1$ уравнение преобразуется в равенство $-1 = y^{4}$ которое невозможно. Наконец, при $x=0$ имеем равенство Таким образом, получаем ответ: $x=0, y= \pm 1$.