Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 439
2014-06-08 
Доказать, что если многочлены $P(x), Q(x), R(x)$ третьей степени с действительными коэффициентами удовлетворяют неравенствам $P(x) \leq Q(x) \leq R(x)$ при всех значениях $x \in \mathbf{R}$ и хотя бы в одной точке $x_{0} \in \mathbf{R}$ выполнено равенство $P(x_{0}) = R(x_{0})$, то для некоторого числа $k \in [0; 1]$ справедливо тождество
$Q(x) \equiv kP(x) + (1 - k)R(x), x \in \mathbf{R}$.
Можно ли утверждать то же самое для многочленов четвертой степени?
Решение:
Заметим, что если многочлен $S(x)$ степени не выше трех удовлетворяет условию $S(x) \geq 0$ при всех $x \in \mathbf{R}$ и равенству $S(x_{0}) = 0$, то он представляется в виде $S(x) = a(x – x_{0})^{2}$, где $a \geq 0$. Поэтому
$R(x) \equiv P(x) + a(x – x_{0})^{2}$,
$Q(x) \equiv P(x) + b (x – x_{0})^{2} \equiv \frac{a-b}{a} P(x) + \frac{b}{a} (P(x) + a (x-x_{0})^{2}) \equiv kP(x) + (1 - k)R(x)$,
где $a \geq b \geq 0, k =1 - \frac{b}{a} \in [0; 1]$ (в случае $a = 0$ имеем $R(x) \equiv Q(x) \equiv P(x)$, поэтому требуемое тождество справедливо, например, при $k = 1$). Аналогичное утверждение для многочленов четвертой степени неверно. Например, многочлены $P(x) = x^{4}, Q(x) = x^{4} + x^{2}, R(x) = 2x^{4} + x^{2}$ удовлетворяют соотношениям $P(x) \leq Q(x) \leq R(x), x \in \mathbf{R}$, и $P(0) = R(0)$, но тождество $x^{4} + x^{2} \equiv kx^{4} + (1 - k)(2x^{4} + x^{2})$ не выполняется ни при каком значении $k$ (для константы $k$ имеем противоречивые равенства $1 = k + 2(1 - k)$ и $1 = 1 - k$).
Доказать, что если многочлены $P(x), Q(x), R(x)$ третьей степени с действительными коэффициентами удовлетворяют неравенствам $P(x) \leq Q(x) \leq R(x)$ при всех значениях $x \in \mathbf{R}$ и хотя бы в одной точке $x_{0} \in \mathbf{R}$ выполнено равенство $P(x_{0}) = R(x_{0})$, то для некоторого числа $k \in [0; 1]$ справедливо тождество
$Q(x) \equiv kP(x) + (1 - k)R(x), x \in \mathbf{R}$.
Можно ли утверждать то же самое для многочленов четвертой степени?
Решение:
Заметим, что если многочлен $S(x)$ степени не выше трех удовлетворяет условию $S(x) \geq 0$ при всех $x \in \mathbf{R}$ и равенству $S(x_{0}) = 0$, то он представляется в виде $S(x) = a(x – x_{0})^{2}$, где $a \geq 0$. Поэтому
$R(x) \equiv P(x) + a(x – x_{0})^{2}$,
$Q(x) \equiv P(x) + b (x – x_{0})^{2} \equiv \frac{a-b}{a} P(x) + \frac{b}{a} (P(x) + a (x-x_{0})^{2}) \equiv kP(x) + (1 - k)R(x)$,
где $a \geq b \geq 0, k =1 - \frac{b}{a} \in [0; 1]$ (в случае $a = 0$ имеем $R(x) \equiv Q(x) \equiv P(x)$, поэтому требуемое тождество справедливо, например, при $k = 1$). Аналогичное утверждение для многочленов четвертой степени неверно. Например, многочлены $P(x) = x^{4}, Q(x) = x^{4} + x^{2}, R(x) = 2x^{4} + x^{2}$ удовлетворяют соотношениям $P(x) \leq Q(x) \leq R(x), x \in \mathbf{R}$, и $P(0) = R(0)$, но тождество $x^{4} + x^{2} \equiv kx^{4} + (1 - k)(2x^{4} + x^{2})$ не выполняется ни при каком значении $k$ (для константы $k$ имеем противоречивые равенства $1 = k + 2(1 - k)$ и $1 = 1 - k$).
