Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 437
2014-06-08 
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству
$P(x)P(2x^{2}) \equiv P(2x^{3} + x), x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Пусть ненулевой многочлен $P(x) = a_{n}x^{n} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$, где $a_{n} \neq 0$, удовлетворяет условиям задачи. Тогда, сравнивая в исходном тождестве коэффициенты при $x^{3n}$ и при $x^{0}$, получаем равенства $a_{n}^{2} = a_{n}, a_{0}^{2}=a_{0}$, откуда $a_{n} = 1$ и $a_{0} = 1$ (если $a_{0} = 0$, то $P(x) = x^{l}P_{1}(x)$, где $P_{1}(0) \neq 0, l \in \mathbf{N}$, и из тождества
$x^{l}P_{1}(x) \cdot (2x^{2})^{l}P_{1}(2x^{2}) \equiv (2x^{3} + x)^{l} P_{1}(2x^{3} + x)$
получаем тождество
$2^{l}x^{2l}P_{1}(x)P_{1}(2x^{2}) \equiv (2x^{2} + 1)^{l}P_{1}(2x^{3} + x)$;
отсюда $P_{1}(0) = 0$ - противоречие). Пусть $\alpha = \rho(\cos \phi + i \sin \phi)$ - произвольный корень многочлена $P(x)$; тогда число $2 \alpha^{3} + \alpha$ также является его корнем, так как $P(2 \alpha^{3} + \alpha) = P(\alpha)P(2 \alpha^{2})$. Далее,
$|2 \alpha^{3} + \alpha| = |\alpha| \cdot |2 \alpha^{2}+ 1| \geq |\alpha| \cdot (2|\alpha|^{3} - 1)$,
поэтому, если $|\alpha| = \rho > 1$, то $|2 \alpha^{2} + 1| \geq | \alpha|$, и многочлен $P(x) \not \equiv 0$ имеет бесконечно много различных корней $\beta_{1} = \alpha, \beta_{j+1} = 2 \beta_{j}^{3} + \beta_{j}$ при $j =1, 2, \cdots$, что невозможно. Следовательно, любой корень многочлена $P(x)$ по модулю не превосходит 1, но так как произведение всех корней этого многочлена равно 1 (по теореме Виета), то ни один из его корней не может быть по модулю меньше 1. Итак, $\rho = 1$ и из цепочки равенств
$1 = |2 \alpha^{3} + \alpha|^{2} = |2 \alpha^{2} + 1|^{2} = 4 \cos 2 \phi + 5$
имеем $\phi = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbf{Z}$ и $\alpha = \pm i$. Так как многочлен $P(x)$ имеет действительные коэффициенты, то $P(x) = (x^{2} + 1)^{k}$, где $k \in \mathbf{Z}^{+}$. Наконец, проверка показывает, что все многочлены такого вида удовлетворяют условиям задачи.
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству
$P(x)P(2x^{2}) \equiv P(2x^{3} + x), x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Пусть ненулевой многочлен $P(x) = a_{n}x^{n} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$, где $a_{n} \neq 0$, удовлетворяет условиям задачи. Тогда, сравнивая в исходном тождестве коэффициенты при $x^{3n}$ и при $x^{0}$, получаем равенства $a_{n}^{2} = a_{n}, a_{0}^{2}=a_{0}$, откуда $a_{n} = 1$ и $a_{0} = 1$ (если $a_{0} = 0$, то $P(x) = x^{l}P_{1}(x)$, где $P_{1}(0) \neq 0, l \in \mathbf{N}$, и из тождества
$x^{l}P_{1}(x) \cdot (2x^{2})^{l}P_{1}(2x^{2}) \equiv (2x^{3} + x)^{l} P_{1}(2x^{3} + x)$
получаем тождество
$2^{l}x^{2l}P_{1}(x)P_{1}(2x^{2}) \equiv (2x^{2} + 1)^{l}P_{1}(2x^{3} + x)$;
отсюда $P_{1}(0) = 0$ - противоречие). Пусть $\alpha = \rho(\cos \phi + i \sin \phi)$ - произвольный корень многочлена $P(x)$; тогда число $2 \alpha^{3} + \alpha$ также является его корнем, так как $P(2 \alpha^{3} + \alpha) = P(\alpha)P(2 \alpha^{2})$. Далее,
$|2 \alpha^{3} + \alpha| = |\alpha| \cdot |2 \alpha^{2}+ 1| \geq |\alpha| \cdot (2|\alpha|^{3} - 1)$,
поэтому, если $|\alpha| = \rho > 1$, то $|2 \alpha^{2} + 1| \geq | \alpha|$, и многочлен $P(x) \not \equiv 0$ имеет бесконечно много различных корней $\beta_{1} = \alpha, \beta_{j+1} = 2 \beta_{j}^{3} + \beta_{j}$ при $j =1, 2, \cdots$, что невозможно. Следовательно, любой корень многочлена $P(x)$ по модулю не превосходит 1, но так как произведение всех корней этого многочлена равно 1 (по теореме Виета), то ни один из его корней не может быть по модулю меньше 1. Итак, $\rho = 1$ и из цепочки равенств
$1 = |2 \alpha^{3} + \alpha|^{2} = |2 \alpha^{2} + 1|^{2} = 4 \cos 2 \phi + 5$
имеем $\phi = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbf{Z}$ и $\alpha = \pm i$. Так как многочлен $P(x)$ имеет действительные коэффициенты, то $P(x) = (x^{2} + 1)^{k}$, где $k \in \mathbf{Z}^{+}$. Наконец, проверка показывает, что все многочлены такого вида удовлетворяют условиям задачи.
