Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4367
2019-10-06 
В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ равна 6. Биссектриса угла $ADC$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в точке $K$ и стороны $AD$ в точке $T$, $KT=3$. Найдите угол $BAD$.
Решение:
Прямые $AE$ и $CD$ параллельны, а $DE$ - биссектриса угла $ADC$, поэтому $\angle AED=\angle CDE=\angle ADE$. Значит, треугольник $ADE$ равнобедренный, $AD=AE$.
Пусть окружность касается основания $DE$ равнобедренного треугольника $ADE$ в точке $M$. Тогда $M$ - середина $DE$. Обозначим $DM=x$. Тогда $DT=DM=x$, $AT=AD-DT=6-x$. Треугольник $ATK$ подобен треугольнику $ADE$, поэтому $\frac{AT}{AD}=\frac{TK}{DE}$, или $\frac{6-x}{6}=\frac{3}{2x}$. Отсюда находим, что $x=3$. Тогда $DE=2x=6$, значит, треугольник $ADE$ равносторонний. Следовательно, $\angle BAD=\angle EAD=60^{\circ}$.
В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ равна 6. Биссектриса угла $ADC$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в точке $K$ и стороны $AD$ в точке $T$, $KT=3$. Найдите угол $BAD$.
Решение:
Прямые $AE$ и $CD$ параллельны, а $DE$ - биссектриса угла $ADC$, поэтому $\angle AED=\angle CDE=\angle ADE$. Значит, треугольник $ADE$ равнобедренный, $AD=AE$.
Пусть окружность касается основания $DE$ равнобедренного треугольника $ADE$ в точке $M$. Тогда $M$ - середина $DE$. Обозначим $DM=x$. Тогда $DT=DM=x$, $AT=AD-DT=6-x$. Треугольник $ATK$ подобен треугольнику $ADE$, поэтому $\frac{AT}{AD}=\frac{TK}{DE}$, или $\frac{6-x}{6}=\frac{3}{2x}$. Отсюда находим, что $x=3$. Тогда $DE=2x=6$, значит, треугольник $ADE$ равносторонний. Следовательно, $\angle BAD=\angle EAD=60^{\circ}$.
