Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4366
2019-10-06 
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $BC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$. Докажите, что $EM$ - медиана треугольника $AED$ и найдите её длину, если $AB=7$, $CE=3$, $\angle ADB=\alpha$.
Решение:
Вписанные углы $ACB$ и $ADB$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle ECB=\angle ACB=\angle ADB=\alpha.$
Пусть прямые $ME$ и $BC$ пересекаются в точке $H$. Тогда
$\angle DEM=\angle BEH=\angle BCE=\alpha,$
поэтому $ME=MD$. Аналогично, $ME=MA$. Следовательно, $M$ - середина $AD$, т.е. $EM$ - медиана треугольника $AED$ (см. задачу 4163).
Из прямоугольных треугольников $BCE$, $ABE$ и $AED$ находим, что
$BE=CEtg\alpha=3tg\alpha,~AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{49-9tg^{2}\alpha},$
$AD=\frac{AE}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{49-9tg^{2}\alpha}}{\sin\alpha}.$
Следовательно, $EM=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{49-9tg^{2}\alpha}}{2\sin\alpha}$.
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $BC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$. Докажите, что $EM$ - медиана треугольника $AED$ и найдите её длину, если $AB=7$, $CE=3$, $\angle ADB=\alpha$.
Решение:
Вписанные углы $ACB$ и $ADB$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle ECB=\angle ACB=\angle ADB=\alpha.$
Пусть прямые $ME$ и $BC$ пересекаются в точке $H$. Тогда
$\angle DEM=\angle BEH=\angle BCE=\alpha,$
поэтому $ME=MD$. Аналогично, $ME=MA$. Следовательно, $M$ - середина $AD$, т.е. $EM$ - медиана треугольника $AED$ (см. задачу 4163).
Из прямоугольных треугольников $BCE$, $ABE$ и $AED$ находим, что
$BE=CEtg\alpha=3tg\alpha,~AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{49-9tg^{2}\alpha},$
$AD=\frac{AE}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{49-9tg^{2}\alpha}}{\sin\alpha}.$
Следовательно, $EM=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{49-9tg^{2}\alpha}}{2\sin\alpha}$.
