Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4361
2019-10-06 
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты.
Решение:
Пусть данная окружность пересекает катеты $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $D$ и $E$, отличных от точки $C$, причём $CD=12$ и $CE=18$. Если $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на $AB$, то
$\angle MDC=\angle MEC=90^{\circ},~DM=CE=18,~ME=CD=12.$
Из прямоугольных треугольников $AMC$ и $BMC$ находим, что
$DM^{2}=AD\cdot DC,~ME^{2}=BE\cdot EC.$
Значит,
$AD=\frac{DM^{2}}{DC}=\frac{18^{2}}{12}=27,~BE=\frac{ME^{2}}{EC}=\frac{12^{2}}{18}=8.$
Следовательно,
$AC=AD+DC=27+12=39,~BC=BE+EC=8+18=26.$
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты.
Решение:
Пусть данная окружность пересекает катеты $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $D$ и $E$, отличных от точки $C$, причём $CD=12$ и $CE=18$. Если $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на $AB$, то
$\angle MDC=\angle MEC=90^{\circ},~DM=CE=18,~ME=CD=12.$
Из прямоугольных треугольников $AMC$ и $BMC$ находим, что
$DM^{2}=AD\cdot DC,~ME^{2}=BE\cdot EC.$
Значит,
$AD=\frac{DM^{2}}{DC}=\frac{18^{2}}{12}=27,~BE=\frac{ME^{2}}{EC}=\frac{12^{2}}{18}=8.$
Следовательно,
$AC=AD+DC=27+12=39,~BC=BE+EC=8+18=26.$
