Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 436
2014-06-08 
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$P(x^{2} – 2x) \equiv (P(x - 2))^{2}, x \in \mathbf{R}$
Решение:
Обозначим $y = x – 1, Q(y) = P(y -1)$. Тогда имеем
$(P(x - 2))^{2} = (P(y - 1))^{2} = (Q(y))^{2}$,
$P(x^{2} – 2x) = P(y^{2} - 1) = Q(y^{2})$,
а исходное тождество записывается в виде
$Q(y^{2}) \equiv (Q (y))^{2}, y \in \mathbf{R}$.
т. е. совпадает, с точностью до обозначений, с тождеством задачи 435. Поэтому $Q(y) = y^{n}$ и $P(y) = (y + 1)^{n}$, где $n \in \mathbf{Z}^{+}$.
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$P(x^{2} – 2x) \equiv (P(x - 2))^{2}, x \in \mathbf{R}$
Решение:
Обозначим $y = x – 1, Q(y) = P(y -1)$. Тогда имеем
$(P(x - 2))^{2} = (P(y - 1))^{2} = (Q(y))^{2}$,
$P(x^{2} – 2x) = P(y^{2} - 1) = Q(y^{2})$,
а исходное тождество записывается в виде
$Q(y^{2}) \equiv (Q (y))^{2}, y \in \mathbf{R}$.
т. е. совпадает, с точностью до обозначений, с тождеством задачи 435. Поэтому $Q(y) = y^{n}$ и $P(y) = (y + 1)^{n}$, где $n \in \mathbf{Z}^{+}$.
