ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-06   
Точка $K$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Докажите, что соотношение $AK^{2}=AB\cdot AC-KB\cdot KC$ выполнено тогда и только тогда, когда $AB=AC$ или $\angle BAK=\angle CAK$.


Решение:


Возьмём на отрезке $BC$ такую точку $L$, что $\angle CAL=\angle KAB$ (рис.1). Покажем, что $AL=AK$. Отсюда будет вытекать, что либо точки $K$ и $L$ совпадают, т.е. $AK$ - биссектриса угла $A$, либо треугольник $ALK$ равнобедренный, и тогда по теореме о внешнем угле треугольника

$\angle ABC=\angle AKC-\angle BAK=\angle ALB-\angle LAC=\angle ACB,$

т.е. треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Обозначим через $D$ точку пересечения прямой $AK$ с описанной окружностью треугольника $ABC$. Поскольку $\angle ACB=\angle ADB$, то треугольник $ACL$ подобен треугольнику $ADB$, следовательно, $AL\cdot AD=AB\cdot AC$. Треугольники $ACK$ и $BDK$ также подобны ($\angle ACB=\angle ADB$, $\angle AKC=\angle BKD$), поэтому $BK\cdot KC=AK\cdot KD$. Таким образом, равенство, данное в условии, эквивалентно следующему:

$AK^{2}=AL\cdot AD-AK\cdot KD,~\mbox{или}~AK\cdot(AK+KD)=AL\cdot AD.$

Отсюда следует, что $AK=AL$.