Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4357
2019-10-06 
Длины двух параллельных хорд окружности равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.
Решение:
Первый способ. Пусть $AB=48$ и $CD=40$ - параллельные хорды, причём $A$, $B$, $C$ и $D$ - последовательные вершины равнобедренной трапеции $ABCD$, $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AB$. Тогда
$AM=44,~BM=4,~AC^{2}=AM^{2}+CM^{2}=44^{2}+22^{2}=(22\sqrt{5})^{2},$
$BC^{2}=CM^{2}+BM^{2}=(10\sqrt{5})^{2},~\sin\angle ABC=\frac{CM}{BC}=\frac{11}{5\sqrt{5}}.$
Если $R$ - искомый радиус, то
$R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=25.$
Второй способ. Обозначим искомый радиус через $R$ и составим иррациональные уравнения
$\sqrt{R^{2}-20^{2}}+\sqrt{R^{2}-24^{2}}=22$
для случая, когда центр окружности лежит между хордами, и
$\sqrt{R^{2}-20^{2}}-\sqrt{R^{2}-24^{2}}=22,$
- если вне. Первое уравнение имеет единственное положительное решение $R=25$. Второе уравнение решений не имеет.
Длины двух параллельных хорд окружности равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.
Решение:
Первый способ. Пусть $AB=48$ и $CD=40$ - параллельные хорды, причём $A$, $B$, $C$ и $D$ - последовательные вершины равнобедренной трапеции $ABCD$, $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AB$. Тогда
$AM=44,~BM=4,~AC^{2}=AM^{2}+CM^{2}=44^{2}+22^{2}=(22\sqrt{5})^{2},$
$BC^{2}=CM^{2}+BM^{2}=(10\sqrt{5})^{2},~\sin\angle ABC=\frac{CM}{BC}=\frac{11}{5\sqrt{5}}.$
Если $R$ - искомый радиус, то
$R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=25.$
Второй способ. Обозначим искомый радиус через $R$ и составим иррациональные уравнения
$\sqrt{R^{2}-20^{2}}+\sqrt{R^{2}-24^{2}}=22$
для случая, когда центр окружности лежит между хордами, и
$\sqrt{R^{2}-20^{2}}-\sqrt{R^{2}-24^{2}}=22,$
- если вне. Первое уравнение имеет единственное положительное решение $R=25$. Второе уравнение решений не имеет.
