Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4356
2019-10-06 
Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63; длина их общей внутренней касательной равна 25. Найдите радиусы окружностей.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $A$ и $B$ - точки касания с общей внешней касательной, $C$ и $D$ - с внутренней, $r$ и $R$ ($r\lt R$) - радиусы окружностей.
Если $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_{1}$ на $O_{2}B$, а $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_{2}$ на продолжение $O_{1}C$, то
$O_{2}K^{2}=(R-r)^{2}=O_{1}O^{2}_{2}-O_{1}K^{2}=$
$=O_{1}O^{2}_{2}-AB^{2}=65^{2}-63^{2}=128\cdot2=16^{2},$
$O_{1}P^{2}=(R+r)^{2}=O_{1}O^{2}_{2}-O_{2}P^{2}=$
$=O_{1}O^{2}_{2}-CD^{2}=65^{2}-25^{2}=40\cdot90=60^{2}.$
Из системы
$\syst{R-r=16\\R+r=60\\}$
находим, что $R=38$ и $r=22$.
Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63; длина их общей внутренней касательной равна 25. Найдите радиусы окружностей.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $A$ и $B$ - точки касания с общей внешней касательной, $C$ и $D$ - с внутренней, $r$ и $R$ ($r\lt R$) - радиусы окружностей.
Если $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_{1}$ на $O_{2}B$, а $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_{2}$ на продолжение $O_{1}C$, то
$O_{2}K^{2}=(R-r)^{2}=O_{1}O^{2}_{2}-O_{1}K^{2}=$
$=O_{1}O^{2}_{2}-AB^{2}=65^{2}-63^{2}=128\cdot2=16^{2},$
$O_{1}P^{2}=(R+r)^{2}=O_{1}O^{2}_{2}-O_{2}P^{2}=$
$=O_{1}O^{2}_{2}-CD^{2}=65^{2}-25^{2}=40\cdot90=60^{2}.$
Из системы
$\syst{R-r=16\\R+r=60\\}$
находим, что $R=38$ и $r=22$.
