Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4351
2019-10-06 
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $17:15$. Основание равно 60. Найдите радиус этой окружности.
Решение:
Первый способ. Пусть $M$ - основание высоты $CM$ равнобедренного треугольника $ACB$ ($AC=CB$), $O$ - центр вписанной окружности. $AM=\frac{1}{2}AB=30$.
Поскольку $AO$ - биссектриса треугольника $MAC$, то $\frac{AC}{AM}=\frac{CO}{OM}$. Откуда находим, что $AC=34$. Следовательно,
$CM^{2}=AC^{2}-AM^{2}=34^{2}-30^{2}=16^{2},$
$OM=\frac{15}{32}CM=\frac{15}{32}\cdot16=\frac{15}{2}.$
Второй способ. Пусть $M$ - основание высоты $CM$ равнобедренного треугольника $ACB$ ($AC=CB$), $O$ - центр вписанной окружности. $AM=\frac{1}{2}AB=30$. Положим $\angle ABC=\angle BAC=2\alpha$, $CO=17x$, $r=OM=15x$.
Поскольку $AO$ - биссектриса треугольника $MAC$, то $\angle MAO=\alpha$. Из прямоугольных треугольников $MAO$ и $MAC$ получаем, что
$tg\alpha=\frac{OM}{AM}=\frac{15x}{30}=\frac{x}{2},~tg2\alpha=\frac{CM}{AM}=\frac{17x+15x}{30}=\frac{16x}{15},$
а т.к. $tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}$, то
$\frac{16x}{15}=\frac{2\cdot\frac{x}{2}}{1-\frac{x^{2}}{4}},~\mbox{или}~4x^{2}+15x-16=0.$
Откуда $x=\frac{1}{2}$, поскольку $x\gt0$. Следовательно, $r=15x=\frac{15}{2}$.
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $17:15$. Основание равно 60. Найдите радиус этой окружности.
Решение:
Первый способ. Пусть $M$ - основание высоты $CM$ равнобедренного треугольника $ACB$ ($AC=CB$), $O$ - центр вписанной окружности. $AM=\frac{1}{2}AB=30$.
Поскольку $AO$ - биссектриса треугольника $MAC$, то $\frac{AC}{AM}=\frac{CO}{OM}$. Откуда находим, что $AC=34$. Следовательно,
$CM^{2}=AC^{2}-AM^{2}=34^{2}-30^{2}=16^{2},$
$OM=\frac{15}{32}CM=\frac{15}{32}\cdot16=\frac{15}{2}.$
Второй способ. Пусть $M$ - основание высоты $CM$ равнобедренного треугольника $ACB$ ($AC=CB$), $O$ - центр вписанной окружности. $AM=\frac{1}{2}AB=30$. Положим $\angle ABC=\angle BAC=2\alpha$, $CO=17x$, $r=OM=15x$.
Поскольку $AO$ - биссектриса треугольника $MAC$, то $\angle MAO=\alpha$. Из прямоугольных треугольников $MAO$ и $MAC$ получаем, что
$tg\alpha=\frac{OM}{AM}=\frac{15x}{30}=\frac{x}{2},~tg2\alpha=\frac{CM}{AM}=\frac{17x+15x}{30}=\frac{16x}{15},$
а т.к. $tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}$, то
$\frac{16x}{15}=\frac{2\cdot\frac{x}{2}}{1-\frac{x^{2}}{4}},~\mbox{или}~4x^{2}+15x-16=0.$
Откуда $x=\frac{1}{2}$, поскольку $x\gt0$. Следовательно, $r=15x=\frac{15}{2}$.
