Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 435
2014-06-08 
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$P(x^{2}) \equiv (P(x))^{2}, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Пусть искомый многочлен имеет вид
$P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$, где $a_{n} \neq 0$.
Предположим, что хотя бы один из коэффициентов $a_{n-1}, \cdots, a_{1}, a_{0}$ отличен от нуля. Выберем наибольшее значение $k < n$, для которого $a_{k} \neq 0$. Тогда имеем
$P(x^{2}) \equiv a_{n}x^{2n} + a_{k}x^{2k}+ \cdots + a_{1}x^{2} + a_{0} \equiv (a_{n}x^{n} + a_{k}x^{k}+ \cdots + a_{1}x + a_{0})^{2} \equiv (P(x))^{2}$.
Сравнивая коэффициенты при $x^{n+k}$, получаем равенство $0 = 2a_{n}a_{k}$, которое противоречит условиям $a_{n} \neq 0, a_{k} \neq 0$. Следовательно, $a_{n-1}= \cdots = a_{1} = a_{0} = 0$ и $P(x) = a_{n}x^{n}$. Наконец, из условий $a_{n}x^{2n} \equiv P(x^{2}) \equiv (P(x))^{2} \equiv a_{n}^{2}x^{2n}$ получаем $a_{n} = 1$, т. е. $P(x) = x^{n}$, где $n \in \mathbf{Z}^{+}$.
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$P(x^{2}) \equiv (P(x))^{2}, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Пусть искомый многочлен имеет вид
$P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$, где $a_{n} \neq 0$.
Предположим, что хотя бы один из коэффициентов $a_{n-1}, \cdots, a_{1}, a_{0}$ отличен от нуля. Выберем наибольшее значение $k < n$, для которого $a_{k} \neq 0$. Тогда имеем
$P(x^{2}) \equiv a_{n}x^{2n} + a_{k}x^{2k}+ \cdots + a_{1}x^{2} + a_{0} \equiv (a_{n}x^{n} + a_{k}x^{k}+ \cdots + a_{1}x + a_{0})^{2} \equiv (P(x))^{2}$.
Сравнивая коэффициенты при $x^{n+k}$, получаем равенство $0 = 2a_{n}a_{k}$, которое противоречит условиям $a_{n} \neq 0, a_{k} \neq 0$. Следовательно, $a_{n-1}= \cdots = a_{1} = a_{0} = 0$ и $P(x) = a_{n}x^{n}$. Наконец, из условий $a_{n}x^{2n} \equiv P(x^{2}) \equiv (P(x))^{2} \equiv a_{n}^{2}x^{2n}$ получаем $a_{n} = 1$, т. е. $P(x) = x^{n}$, где $n \in \mathbf{Z}^{+}$.
