Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4344
2019-10-06 
Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр окружности радиуса 27, $O_{2}$ - центр окружности радиуса 13, $A$ и $B$ соответственно - точки касания окружностей с их общей внешней касательной, $C$ и $D$ соответственно - с внутренней, $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{2}$ на $O_{1}A$ (рис.1). Из прямоугольного треугольника $O_{1}O_{2}P$ находим, что
$O_{2}P=\sqrt{O_{1}O^{2}_{2}-O_{1}P^{2}}=\sqrt{50^{2}-(27-13)^{2}}=48,$
а т.к. $APO_{2}B$ - прямоугольник, то $AB=O_{2}P=48$.
Пусть $Q$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на продолжение радиуса $O_{2}D$ (рис.2). Тогда
$O_{1}Q=\sqrt{O_{1}O^{2}_{2}-O_{2}Q^{2}}=\sqrt{50^{2}-(27+13)^{2}}=30,$
а т.к. $DQO_{1}C$ - прямоугольник, то $CD=O_{1}Q=30$.
Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр окружности радиуса 27, $O_{2}$ - центр окружности радиуса 13, $A$ и $B$ соответственно - точки касания окружностей с их общей внешней касательной, $C$ и $D$ соответственно - с внутренней, $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{2}$ на $O_{1}A$ (рис.1). Из прямоугольного треугольника $O_{1}O_{2}P$ находим, что
$O_{2}P=\sqrt{O_{1}O^{2}_{2}-O_{1}P^{2}}=\sqrt{50^{2}-(27-13)^{2}}=48,$
а т.к. $APO_{2}B$ - прямоугольник, то $AB=O_{2}P=48$.
Пусть $Q$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на продолжение радиуса $O_{2}D$ (рис.2). Тогда
$O_{1}Q=\sqrt{O_{1}O^{2}_{2}-O_{2}Q^{2}}=\sqrt{50^{2}-(27+13)^{2}}=30,$
а т.к. $DQO_{1}C$ - прямоугольник, то $CD=O_{1}Q=30$.
