Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4342
2019-07-31 
Две окружности радиусов $r$ и $R$ касаются внешним образом. Из центра одной окружности проведена касательная к другой, а из полученной точки касания проведена касательная к первой окружности. Найдите длину последней касательной.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $M$ и $K$ - первая и вторая точки касания на окружностях с центрами $O_{2}$ и $O_{1}$ соответственно.
Из прямоугольного треугольника М$O_{1}O_{2}$ находим, что
$O_{1}M=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-MO_{2}^{2}}=\sqrt{(R+r)^{2}-R^{2}}=\sqrt{r^{2}+2rR}.$
Из прямоугольного треугольника $MKO_{1}$ находим, что
$MK=\sqrt{MO_{1}^{2}-KO_{1}^{2}}=\sqrt{r^{2}+2rR-r^{2}}=\sqrt{2rR}.$
Две окружности радиусов $r$ и $R$ касаются внешним образом. Из центра одной окружности проведена касательная к другой, а из полученной точки касания проведена касательная к первой окружности. Найдите длину последней касательной.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $M$ и $K$ - первая и вторая точки касания на окружностях с центрами $O_{2}$ и $O_{1}$ соответственно.
Из прямоугольного треугольника М$O_{1}O_{2}$ находим, что
$O_{1}M=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-MO_{2}^{2}}=\sqrt{(R+r)^{2}-R^{2}}=\sqrt{r^{2}+2rR}.$
Из прямоугольного треугольника $MKO_{1}$ находим, что
$MK=\sqrt{MO_{1}^{2}-KO_{1}^{2}}=\sqrt{r^{2}+2rR-r^{2}}=\sqrt{2rR}.$
