Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 434
2014-06-08 
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$(x - 1)P(x + 1) – (x + 2)P(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставляя в исходное тождество последовательно значения $x = 1; - 2; 0$, получаем, что искомый многочлен $P(x)$ имеет корни $0, \pm 1$, а значит, делится на многочлен $x^{3} – x$. Далее, подставляя в тождество выражение
$P(x) = (x^{3} - x)Q(x)$,
получаем для многочлена $Q(x)$ тождество $Q(x + 1) - Q(x) = 0$, откуда имеем $Q(0) = Q (1) = Q(2) = \cdots$. Поэтому $Q(x) \equiv a$ - константа, и искомые многочлены имеют вид $P(x) = a(x^{3} - x)$. (Проверка показывает, что все многочлены такого вида удовлетворяют требуемому тождеству.)
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$(x - 1)P(x + 1) – (x + 2)P(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставляя в исходное тождество последовательно значения $x = 1; - 2; 0$, получаем, что искомый многочлен $P(x)$ имеет корни $0, \pm 1$, а значит, делится на многочлен $x^{3} – x$. Далее, подставляя в тождество выражение
$P(x) = (x^{3} - x)Q(x)$,
получаем для многочлена $Q(x)$ тождество $Q(x + 1) - Q(x) = 0$, откуда имеем $Q(0) = Q (1) = Q(2) = \cdots$. Поэтому $Q(x) \equiv a$ - константа, и искомые многочлены имеют вид $P(x) = a(x^{3} - x)$. (Проверка показывает, что все многочлены такого вида удовлетворяют требуемому тождеству.)
