Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4333
2019-07-31 
Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей.
Решение:
Пусть окружность радиуса 13 с центром $O_{1}$ и окружность радиуса 15 с центром $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ равноудалены от концов отрезка $AB$, поэтому прямая $O_{1}O_{2}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
Пусть $M$ - середина $AB$. Из прямоугольных треугольников $AMO_{1}$ и $AMO_{2}$ по теореме Пифагора находим, что
$MO_{1}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,~MO_{2}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9.$
Если точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ (рис.1), то
$O_{1}O_{2}=MO_{1}+MO_{2}=5+9=14.$
Если же точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ (рис.2), то
$O_{1}O_{2}=MO_{2}-MO_{1}=9-5=4.$
Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей.
Решение:
Пусть окружность радиуса 13 с центром $O_{1}$ и окружность радиуса 15 с центром $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ равноудалены от концов отрезка $AB$, поэтому прямая $O_{1}O_{2}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
Пусть $M$ - середина $AB$. Из прямоугольных треугольников $AMO_{1}$ и $AMO_{2}$ по теореме Пифагора находим, что
$MO_{1}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,~MO_{2}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9.$
Если точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ (рис.1), то
$O_{1}O_{2}=MO_{1}+MO_{2}=5+9=14.$
Если же точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ (рис.2), то
$O_{1}O_{2}=MO_{2}-MO_{1}=9-5=4.$
