Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 433
2014-06-08 
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$xP(x - 1) \equiv (x-2)P(x), x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставляя в исходное тождество значения $x = 0; 2$, получаем, что многочлен $P(x)$ имеет корни 0 и 1, а значит, делится на многочлен $x^{2} - x$. Далее, подставляя в тождество выражение $P(x) = (x^{2} - x) Q(x)$, получаем для многочлена $Q(x)$ тождество $Q(x) \equiv Q(x-1)$; отсюда имеем $Q(0) = Q(- 1) = Q (- 2) = \cdots$. Поэтому $Q(x) \equiv a$ - константа, и искомые многочлены имеют вид $P(x) = a (x^{2} - x)$. (Проверка показывает, что все многочлены такого вида удовлетворяют требуемому тождеству.)
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$xP(x - 1) \equiv (x-2)P(x), x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставляя в исходное тождество значения $x = 0; 2$, получаем, что многочлен $P(x)$ имеет корни 0 и 1, а значит, делится на многочлен $x^{2} - x$. Далее, подставляя в тождество выражение $P(x) = (x^{2} - x) Q(x)$, получаем для многочлена $Q(x)$ тождество $Q(x) \equiv Q(x-1)$; отсюда имеем $Q(0) = Q(- 1) = Q (- 2) = \cdots$. Поэтому $Q(x) \equiv a$ - константа, и искомые многочлены имеют вид $P(x) = a (x^{2} - x)$. (Проверка показывает, что все многочлены такого вида удовлетворяют требуемому тождеству.)
