Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4322
2019-07-31 
Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).
Решение:
Первый способ. Пусть $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ - основания высот остроугольного треугольника $ABC$, проведённых из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Тогда
$\angle AC_{1}B_{1}=\angle ACB,~\angle BC_{1}A_{1}=\angle ACB.$
Поэтому $\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}$. Следовательно,
$\angle B_{1}C_{1}C=90^{\circ}-\angle AC_{1}B_{1}=90^{\circ}-\angle BC_{1}A_{1}=\angle A_{1}C_{1}C.$
Аналогично
$\angle A_{1}B_{1}B=\angle C_{1}B_{1}B,~\angle B_{1}A_{1}A=\angle C_{1}A_{1}A.$
Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).
Решение:
Первый способ. Пусть $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ - основания высот остроугольного треугольника $ABC$, проведённых из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Тогда
$\angle AC_{1}B_{1}=\angle ACB,~\angle BC_{1}A_{1}=\angle ACB.$
Поэтому $\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}$. Следовательно,
$\angle B_{1}C_{1}C=90^{\circ}-\angle AC_{1}B_{1}=90^{\circ}-\angle BC_{1}A_{1}=\angle A_{1}C_{1}C.$
Аналогично
$\angle A_{1}B_{1}B=\angle C_{1}B_{1}B,~\angle B_{1}A_{1}A=\angle C_{1}A_{1}A.$
