ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-31   
Внутри треугольника $ABC$ взята точка $M$, причём

$\angle AMC=60^{\circ}+\angle ABC,~\angle CMB=60^{\circ}+\angle CAB,~\angle BMA=60^{\circ}+\angle BCA.$

Докажите, что проекции точки $M$ на стороны треугольника служат вершинами правильного треугольника.


Решение:


Пусть $A_{1},B_{1}$ и $C_{1}$ - проекции данной точки $M$ на стороны $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Проведём три окружности: через точки $M$, $A_{1}$, $B$, $C_{1}$, через точки $M$, $B_{1}$, $C$, $A_{1}$ и через точки $M$, $C_{1}$, $A$, $B_{1}$. Тогда

$\angle B_{1}C_{1}A_{1}+\angle B_{1}A_{1}C_{1}=(\angle B_{1}C_{1}M+\angle A_{1}C_{1}M)+(\angle C_{1}A_{1}M+\angle B_{1}A_{1}M)=(\angle B_{1}AM+\angle A_{1}BM)+(\angle C_{1}BM+\angle B_{1}CM)=(\angle B_{1}AM+\angle B_{1}CM)+(\angle A_{1}BM+\angle C_{1}BM)=180^{\circ}-\angle AMC+\angle ABC=180^{\circ}-(\angle ABC+60^{\circ})+\angle ABC=120^{\circ}.$

Следовательно,

$\angle C_{1}B_{1}A_{1}=180^{\circ}-(\angle B_{1}C_{1}A_{1}+\angle B_{1}A_{1}C_{1})=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.$

Аналогично для остальных углов треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$.