Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4320
2019-07-31 
Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ - последовательные стороны четырёхугольника. Докажите, что если $S$ - его площадь, то $S\leq\frac{ac+bd}{2}$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырёхугольник вписанный и его диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный четырёхугольник, $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $AD=d$. Рассмотрим четырёхугольник $AB_{1}CD$, где точка $B_{1}$ симметрична вершине $B$ относительно серединного перпендикуляра к диагонали $AC$. Тогда
$S_{ABCD}=S_{AB_{1}CD}=\frac{1}{2}CB_{1}\cdot CD\sin\angle B_{1}CD+\frac{1}{2}B_{1}A\cdot AD\sin\angle B_{1}AD\leq \frac{1}{2}CB_{1}\cdot CD+\frac{1}{2}B_{1}A\cdot AD=\frac{ac+bd}{2}.$
Равенство достигается, если $\angle B_{1}CD=\angle B_{1}AD=90^{\circ}$, т.е. четырёхугольник $AB_{1}CD$ - вписанный, причём его два противоположных угла равны по $90^{\circ}$.
Поскольку диагональ $AC$ видна из точек $B$ и $B_{1}$ под одним углом, то четырёхугольник $ABCD$ вписан в ту же окружность, а т.к. $AC\parallel BB_{1}$ и $B_{1}D$ - диаметр, то угол между $AC$ и $BD$ равен углу $B_{1}BD$, т.е. $90^{\circ}$.
Обратно, пусть четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $AD=d$ вписан в окружность и его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Проведём диаметр $DD_{1}$. Тогда
$AD_{1}=BC=b,~CD_{1}=AB=a,~\angle DAD_{1}=\angle DCD_{1}=90^{\circ},$
$S_{ABCD}=S_{ABCD_{1}}=S_{\Delta DAD_{1}}+S_{\Delta DCD_{1}}=\frac{1}{2}AD\cdot AD_{1}+\frac{1}{2}CD\cdot CD_{1}=\frac{ac+bd}{2}.$
Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ - последовательные стороны четырёхугольника. Докажите, что если $S$ - его площадь, то $S\leq\frac{ac+bd}{2}$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырёхугольник вписанный и его диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный четырёхугольник, $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $AD=d$. Рассмотрим четырёхугольник $AB_{1}CD$, где точка $B_{1}$ симметрична вершине $B$ относительно серединного перпендикуляра к диагонали $AC$. Тогда
$S_{ABCD}=S_{AB_{1}CD}=\frac{1}{2}CB_{1}\cdot CD\sin\angle B_{1}CD+\frac{1}{2}B_{1}A\cdot AD\sin\angle B_{1}AD\leq \frac{1}{2}CB_{1}\cdot CD+\frac{1}{2}B_{1}A\cdot AD=\frac{ac+bd}{2}.$
Равенство достигается, если $\angle B_{1}CD=\angle B_{1}AD=90^{\circ}$, т.е. четырёхугольник $AB_{1}CD$ - вписанный, причём его два противоположных угла равны по $90^{\circ}$.
Поскольку диагональ $AC$ видна из точек $B$ и $B_{1}$ под одним углом, то четырёхугольник $ABCD$ вписан в ту же окружность, а т.к. $AC\parallel BB_{1}$ и $B_{1}D$ - диаметр, то угол между $AC$ и $BD$ равен углу $B_{1}BD$, т.е. $90^{\circ}$.
Обратно, пусть четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $AD=d$ вписан в окружность и его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Проведём диаметр $DD_{1}$. Тогда
$AD_{1}=BC=b,~CD_{1}=AB=a,~\angle DAD_{1}=\angle DCD_{1}=90^{\circ},$
$S_{ABCD}=S_{ABCD_{1}}=S_{\Delta DAD_{1}}+S_{\Delta DCD_{1}}=\frac{1}{2}AD\cdot AD_{1}+\frac{1}{2}CD\cdot CD_{1}=\frac{ac+bd}{2}.$
