Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 432
2014-06-07 
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие условию $P(0) = 0$ и тождеству
$P(x) \equiv \frac{1}{2}(P(x + 1) + P(x-1)), x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Любой многочлен вида $P(x) = ax$, где $a$ - константа, удовлетворяет условиям задачи. Докажем индукцией по $n \in \mathbf{Z}^{+}$, что для каждого искомого многочлена $P(x)$ выполнены равенства $P(n) = nP(1)$. При $n = 0$ и $n = 1$ эти равенства верны. Пусть они уже доказаны для чисел $n – 1$ и $n$, где $n \in \mathbf{N}$. Тогда $P(n + 1) = 2P(n) - P(n - 1) = (n + 1)P(1)$, а значит, равенство справедливо и для числа $n + 1$. Поскольку многочлен $P(x) - P(1)x$ имеет бесконечно много корней $x = 0, 1, 2, \cdots,$ то он равен нулю. Таким образом, искомые многочлены имеют вид $P(x) = ax$.
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие условию $P(0) = 0$ и тождеству
$P(x) \equiv \frac{1}{2}(P(x + 1) + P(x-1)), x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Любой многочлен вида $P(x) = ax$, где $a$ - константа, удовлетворяет условиям задачи. Докажем индукцией по $n \in \mathbf{Z}^{+}$, что для каждого искомого многочлена $P(x)$ выполнены равенства $P(n) = nP(1)$. При $n = 0$ и $n = 1$ эти равенства верны. Пусть они уже доказаны для чисел $n – 1$ и $n$, где $n \in \mathbf{N}$. Тогда $P(n + 1) = 2P(n) - P(n - 1) = (n + 1)P(1)$, а значит, равенство справедливо и для числа $n + 1$. Поскольку многочлен $P(x) - P(1)x$ имеет бесконечно много корней $x = 0, 1, 2, \cdots,$ то он равен нулю. Таким образом, искомые многочлены имеют вид $P(x) = ax$.
