Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4319
2019-07-31 
В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и $10\sqrt{3}$. Найдите стороны четырёхугольника.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, описанной около четырёхугольника $ABCD$, $M$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, $K$ - середина $AC$, $P$ - середина $BD$. Тогда $BP=5\sqrt{3}$, $CK=6$. Предположим, что точка $P$ находится между $M$ и $B$, а $M$ - между $K$ и $A$. Тогда
$KM=OP=\sqrt{OB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{100-75}=5,$
$MP=OK=\sqrt{OC^{2}-KC^{2}}=\sqrt{100-36}=8,$
$BM=MP+PB=8+5\sqrt{3},$
$AM=AK-KM=6-5=1,$
$AB=\sqrt{MB^{2}+MA^{2}}=\sqrt{(8+5\sqrt{3})^{2}+1}=\sqrt{140+80\sqrt{3}}=\sqrt{80}+\sqrt{60}.$
Остальные стороны находятся аналогично.
В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и $10\sqrt{3}$. Найдите стороны четырёхугольника.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, описанной около четырёхугольника $ABCD$, $M$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, $K$ - середина $AC$, $P$ - середина $BD$. Тогда $BP=5\sqrt{3}$, $CK=6$. Предположим, что точка $P$ находится между $M$ и $B$, а $M$ - между $K$ и $A$. Тогда
$KM=OP=\sqrt{OB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{100-75}=5,$
$MP=OK=\sqrt{OC^{2}-KC^{2}}=\sqrt{100-36}=8,$
$BM=MP+PB=8+5\sqrt{3},$
$AM=AK-KM=6-5=1,$
$AB=\sqrt{MB^{2}+MA^{2}}=\sqrt{(8+5\sqrt{3})^{2}+1}=\sqrt{140+80\sqrt{3}}=\sqrt{80}+\sqrt{60}.$
Остальные стороны находятся аналогично.
