Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4317
2019-07-31 
Через вершину $C$ квадрата $ABCD$ проведена прямая, пересекающая диагональ $BD$ в точке $K$, а серединный перпендикуляр к стороне $AB$ - в точке $M$ ($M$ между $C$ и $K$). Найдите $\angle DCK$, если $\angle AKB=\angle AMB$.
Решение:
Поскольку $\angle AKB=\angle AMB$, то точки $M$, $K$, $A$ и $B$ лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы $BKM$ и $BAM$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle BKM=\angle BAM$, а т.к. из симметрии $\angle AKB=\angle BKM$, то $\angle AMB=\angle BAM$, поэтому $MB=AB$. Кроме того, точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, поэтому $MA=MB$, значит, треугольник $AMB$ - равносторонний. Следовательно,
$\angle BKM=\angle AMB=60^{\circ},~\angle DCK=\angle BKM-\angle KDC=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}.$
Через вершину $C$ квадрата $ABCD$ проведена прямая, пересекающая диагональ $BD$ в точке $K$, а серединный перпендикуляр к стороне $AB$ - в точке $M$ ($M$ между $C$ и $K$). Найдите $\angle DCK$, если $\angle AKB=\angle AMB$.
Решение:
Поскольку $\angle AKB=\angle AMB$, то точки $M$, $K$, $A$ и $B$ лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы $BKM$ и $BAM$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle BKM=\angle BAM$, а т.к. из симметрии $\angle AKB=\angle BKM$, то $\angle AMB=\angle BAM$, поэтому $MB=AB$. Кроме того, точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, поэтому $MA=MB$, значит, треугольник $AMB$ - равносторонний. Следовательно,
$\angle BKM=\angle AMB=60^{\circ},~\angle DCK=\angle BKM-\angle KDC=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}.$
